文档介绍：第三节数量积向量积混合积
内容分布图示
★两向量的数量积★数量积的运算
★例1 ★例2 ★例3
★例4 ★例5
★引例★向量积的定义
★向量积的运算
★例6 ★例7 ★例8
★例9 ★例10
★向量的混合积★混合积的几何意义
★例11 ★例12 ★例13
★内容小结★课堂练习
★习题7-3 ★返回
内容要点:
一、两向量的数量积:
定义1设有向量、,它们的夹角为,乘积称为向量与的数量积(或称为内积、点积),记为,即
.
根据数量积的定义,可以推得:
(1) ;
(2) ;
(3) 设、为两非零向量,则的充分必要条件是.
数量积满足下列运算规律:
(1) 交换律
(2)分配律
(3)结合律,(为实数).
二、两向量的向量积
定义2 若由向量与所确定的一个向量满足下列条件:
(1)的方向既垂直于又垂直于, 的指向按右手规则从转向来确定(图7-3-5);
(2)的模,(其中为与的夹角),
则称向量为向量与的向量积(或称外积、叉积),记为
.
根据向量积的定义,即可推得
(1);
(2)设、为两非零向量,则的充分必要条件是.
向量积满足下列运算规律:
(1)
(2)分配律
(3)结合律,(为实数).
三、向量的混合积
例题选讲:
两向量的数量积
例1 (讲义例1) 已知求
(1) (2) 与的夹角; (3) 与上的投影.
例2 证明向量与向量垂直.
例3 (讲义例2) 试用向量方法证明三角形的余弦定理.
例4 (讲义例3) 设与垂直, 与垂直, 求与之间的夹角.
例5 (讲义例4) 设液体流过平面S上面积为A的一个区域, 液体在这区域上各点处的流速均为(常向量) v. 设n为垂直于S的单位向量(图7-3-3