文档介绍：最小势能原理和分片插值
最小势能原理和分片插值是有限单元方法的核心内容之一,在这一章中我们将介绍最小势能原理的具体应用,同一力学问题的几种不同的表达方式及它们之间的联系;Ritz方法在单元内的应用;两种最常用的插值形式(Lagrange型和 Hermite型)。协调的位移型单元的收敛条件。
§3-1最小势能原理
一个平衡问题,可以至少用以下叁种不同的方式加以描述:
(i)平衡方程
(ii)虚位移原理
F(x,y)=0
(iii)总势能取驻值(函数的极值问题)
A
B
有限自由度系统质点系
图3-1(a)为两个重分别为PA, PB的小球,由
不计重量,弹性系数为k的弹簧相连,放置在光滑的曲面F(x,y)=0上。该系统的平衡问题可由以下三种方法来描述:
(1)平衡方程(在平衡位置描述平衡)
(a)
分别取A、B为研究对象,建立一直角坐标系,如图3-1 (b)所示。由A、B两球组成的系统的平衡条件为:
A:
B:
A
B
T
NA
NB
PB
PA
T’
x
y
o
其中,弹簧力以压力为正,即:
(2)虚位移原理(在平衡位置附近描述平衡)
系统的平衡位置可描述为 rA,rB 或 xA、yA,xB、yB 如图3-1 (c) 所示。
两质点的虚位移分别为:
A
B
y
x
PB
PA
T’
T
rB
rA
o
(c)
图3-1
(b)
δrA, δrB 或δxA,δyA,δxB,δyB
由虚位移原理可得
上式也称为微分型变分原理。进一步改写为
(3) 总势能取驻值(在全范围内描述平衡(寻找平衡位置))引入总势能函数
由总势能函数取驻值,即:
寻找平衡位置。以上三种描述系统平衡的方法,对于有限自由度系统而言是等价的。然而,三种方法的特殊性是:平衡方程是在平衡位置上描述平衡问题;虚位移原理是在平衡位置附近描述平衡问题;而最小势能原理是在全局范围上描述(寻找)平衡问题。
最小势能原理可以表述为:在所有满足给定位移边界条件和协调条件的位移中,满足平衡条件的位移使总势能取驻值,若驻值是最小值,则平衡是稳定的。
作为一条基本原理,它的正确性应由事实加以检验,不必从理论上给以证明。但为了便于理解“位移边界条件“和“协调条件“的含义,下面通过三个例子对最小势能原理和平衡方程的等价关系加以验证。
2、无限自由度系统弹性体
轴向受拉的直杆
O
L
f(x)
x, u
P
图 3-2
设杆长为L,截面积为A,轴向分布载荷f(x)。x=0端固定,x=L端受端点集中力P。设位移u(x)满足:
(i)u(0)=0 (位移边界条件)
(ii)u(x) 在[O, L]上连续(协调条件)
(3-1-1)
(iii) 使
取最小值。
若u(x)+δu(x)为不同于u(x) 的另外一种位移分布函数,也满足上述的位移边界条件和协调条件,由
(3-1-2)
可推出
而
不难求得:
因πP(u) 取最小值,即
的充分必要条件是:对任意满足(3-1-2)的δu(x) 有
(3-1-3)
式(3-1-3)即势能驻值条件。
若补充假定u’’(x) 存在、连续,则对(3-1-3)分部积分一次,并利用(3-1-2), 可得到
(3-1-4)
(3-1-4) 式对任意δu(x) 都成立的充分必要条件是:
(平衡方程)
(力边界条件)
由上述过程不难看出:
①由势能取驻值可以推出平衡方程。反之也对,说明两种描述方法在力学上等价。
②两种描述方法对边界条件的要求不同。用微分方程描述时,u必须满足:
(平衡方程)
(位移边界条件)
(力边界条件)
用最小势能原理描述时,要求函数满足位移边界条件而力边界条件将作为势能取驻值的自然结果。当u(x) 使πP精确取驻值时,平衡方程和力边界条件将精确地得到满足;当u(x) 使πP近似取驻值时,平衡方程和力边界条件只能近似的得到满足。在这种意义下,力边界条件又称为自然边界条件(Natural Boundary Condition ),而位移边界条件由称为强制边界条件(Essential Boundary Condition)。
③两种描述方法对函数的光滑程度(即可微性)要求不同。用微分方程描述时要求u(x) 有连续的二阶导数(记作u∈C2(0, L))。而用最小势能原理描述时,为了保证变形能存在,要求u’(x)平方可积(记作u∈H1(0, L)) H1为一阶导数平方可积的函数组成的函数空间,C2为二阶导数连续的函数组成的函数空间。
n
n
n
x, u
P(x)
(fx, fy)
B
D
C
A
O
y, v
图 3-3