文档介绍：第四章一些数学概念和结论木章介绍关于有限元方法的一些数学概念和结论,H的在于使读者对于有限元解的收敛性以及单元精度问题能有确切的了解。以后备章的内容在木章提供的基础Z上进行。对于有限元方法的数学研究,目前已进行得相当充分,对这方面有兴趣的读者可进一步杳阅有关的专著。木章介绍的主要对象是函数:真实解是一个函数;基函数是一组函数;试探函数是某一类函数,有限元解是这类函数中使兀p取驻值(最小值)的那一个函数。下血讨论屮的“元素”实际指的就是函数,“空间”实际指的就是某种函数的集合,即函数空间。§4-1线性空间(向量空间)1、线性空间的定义满足下列条件的空间E为线性空间(1)V兀,有如下“加法”运算x+y=y+xx+(y+z)=(y+x)+z存在“零元素”OeEVxwE有x-\-0=xVxgE存在逆元素一xwE使x+(-x)=0(2)(i)设E屮的元索与实数域的元索有“数乘”运算,即Vx,yeE,wK(实数域)\x=x(cr+/?).r=ca+fixa^x+y)=ca+ay若K为实数域则E称为实线性空间,K为复数域则E称为复线性空间。例1C[a,b]若0(x)、02(x)是[a,b]上的连续函数,则C\(p、+C2(p2也是[a,bj±的连续函数。故定义在[a,b]上的所有连续函数组成一个线性空间。记作C[a,b]o例2L2(a,b)若0(兀)、02(兀)&(a,b)上平方可积的函数,即C\(P\+602C\0\7(p;b bp,(x)2dx‘ ^(p2(x)2dxa a存在,则s c<(C]0(X)+C202(x)『=(x)+c2~(p22(x)+2c&200)02(x)W2(cW(x)+c;(p;(x)y所以c®(x)+C202(x)也是(*b)上平方可积的函数。所有(a,b)上平方可积的函组成一个线性空间,记作乙2(a,b)o例3Cla,b]若0|(x)、0;(x)、02(x)、0;(x)在[a,b]上连续,则也在(a,b)上连续。所有函数本身及一阶导数都在(a,b)上连续的函数组成一种线性空间,记作C^a,b]o例4Rnn维欧氏空间是线性空间,R2(二维平面),R3(三维空间)是n维欧氏空间的特例。例5 P„(x)[a,b]定义在[a,b]上的n次多项式Pn(x)[a,[a,b] 构成线性空间。2、线性空间的维数(1)线性和关与线性无关设©、池…久为线性空间E的n个元素(i)若存在不全为零的常数C|、使得C\(P\+C202+•…+50〃三0则称01、02…久线性相关;(ii)若C\(P\+C202+…+5久三0仅当 C\=c2=•••="三0才成立,则称01、02…0“线性无关。(2) 线性空间的维数若线性空间E满足(i) 任意n+1个元素一定线性相关。(ii) 存在着n个线性无关的元素。则称线性空间E的维数为n。例1若0、线性无关,则所有形式为C\<P\+602+…+CQ的试探函数组成n维线性空间。而所有形式为1=12工也/=!的位移场则组成2n维线性空间。),例2由于可以找出任意多个线性无关的连续函数(例如:1、x、F…才…所以C空间为无限维线性空间。L2空间也是无限维线性空间。3、线性空间的模(范数)(1)模的定义当线性空间E屮的任意一个元素x可用一个非负实数与Z对应,记作IIx||(表示“大小”或“长度”)称为E空间为模线性空间或赋范线性空间,实数IIxII称为模或范数。模的性质如下:(i) IIxIIMO,仅当x三0时IIxII=0(ii) 对任一常数a有IIa^ll=IaI•UII(iii) 对任意x、yUE有II对yIIWIIxll+IIyll (此式又称三角不等式)。只要满足这些要求,均可作为一种模的定义。II訓描述了元素x的“大小”,IIx-y||则描述了两个元素X、yZ间的“距离”。设真实解为",有限元解为妳,如果当网格无限细分时有IIu-ut>II->0,则说明有限元解收敛于真实解。模的定义不同,收敛的意义也不同。例1在平血R'内,向量x(xbx2)可以有下列三种模的定义*112=7X12+x2Wil=lxil+l^l|xL=max(xl|,|x2|}例2设x>yeE贝lj,x-y的模可以表示这两个元素的“接近程度”,若在R?空间屮的可见模的定义不同,其意义不同,在实数域内,两个元素,x(l,l),y(2,4)可以有如下模的定义模闊|与绝对值卜|是等价的。(2)两种常用的模下面是最常见、也是具有代表性的两种模①一致模若uEC[a,bj,则u必在[a,bj±取到最大值和最小值,故可按如下方式定义一致模II川“II=二maxllllooa<x<i②L2模若uWL2(a,b)则bL2=p/~dxa存在,可以按如下方式定义b模I呱=\u2dx\CI /显然按一致模收敛是一致收敛,。对于