文档介绍：§ 角动量的本征值和本征态
本节讨论一般的角动量的本征值和本征态,并给出角动量算符矩阵表示的矩阵元。
一、对易关系和本征态
角动量算符的基本对易关系为
这里Ji是绕i轴无穷小转动的生成元。
定义角动量的平方算符
由角动量算符的基本对易关系可知J2与任何Ji对易。
由于不同Ji不对易,只能选择某个Ji与J2的共同本征态为基,通常选J2与Jz的共同本征态。若用|a,b>标记该本征态,则有J2 |a,b> =a |a,b> ,Jz |a,b> =b |a,b> 。
二、阶梯算符
定义: J±=Jx±iJy,称为阶梯算符,或角动量的升(降)算符,是以前讲过的自旋升降算符在一般角动量情形的推广。 J±是非厄米的。
容易证明:
由于
J±|a,b>也是Jz的本征态,对应于本征值。既J±作用于Jz的本征态结果仍为Jz的本征态,但相应本征值增加。
又由于J±与J2对易, J±不改变J2的本征值.
即: J±|a,b> = c±|a,b > , c±由归一化条件确定。
三、J2与Jz的本征值
由于,Jx、Jy是厄米算符,其任意态的期待值为实数,故 a-b2≥0 对给定a, b有上限bmax和下限bmin,且J+|a,bmax>=0, J-|a,bmin>=0.
由

得,类似有 bmin=-bmax
由bmin和bmax的唯一性知,J+作用于|a,bmin>有限次数应能达到|a,bmax>,故
记Jz的最大本征值为,则j=n/2为整数或半整数,而J2的本征值为。Jz的本征值一般为,其中-j≤m≤j,共有2j+1个可能值-j,-j+1…,j-1,j。
改记|a,b>为|j,m>,则
上述推导只用了角动量对易关系,即角动量的量子化源于转动和角动量作为转动生成元的基本性质。
四、角动量算符的矩阵元
取|j,m>为归一化的,则
因而
故
取c±为实数,有:
类似地
J±的矩阵元为
而由Jx=(J++J-)/2, Jy=(J+-J-)/2i可定出Jx和Jy的矩阵元
五、转动算符的表示
对绕转Φ角的转动R,转动算符的矩阵元为
(D在不同j之间的矩阵元为零)
这些矩阵元有时称Wigner函数。
由形成的(2j+1)x(2j+1)矩阵称为D(R)的(2j+1) 维的不可约表示。即对一般的转动,D可按不同j而成分块对角化形式,且每一块不可用任何基而进一步划分为更小的块对角化形式,即
D(R)= ,
六、转动算符表示的一般性质
j 所表征的转动矩阵形成一个群
a)有单位矩阵(无转动),b)逆(绕同轴转-Φ角),c)乘积也是成员,其中乘积R1R2表示单一转动;d)结合律也满足。
2. 幺正性:
3. 是|jm>经R转动后在|jm’>态中找到的几率振幅:
七、 Euler转动的转动算符矩阵表示
对用Euler角表征的转动,有
可见只要求出
则可得到
例如对j=1/2,
对j=1,d(1)=(J+-J-)/2i及J±的矩阵元可知:
可以验证:
利用级数展开,可知
从而得到
类似方法可给出d(j>1)(β),只是过程比较复杂。简便获得d(j)的方法将在下次课介绍。
§ 轨道角动量
忽略自旋角动量时,粒子的角动量J与轨道角动量L=xxp相同。容易验证L满足角动量的基本对易关系:
将作用于|x’y’z’>,有
正是绕z轴无穷小转动的结果。即若p是平移的生成元,则L是转动的生成元。