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对面积的曲面积分的概念与性质
二对面积的曲面积分的计算法
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一对面积的曲面积分的概念与性质
引例:设曲面形构件具有连续面密度
类似求平面薄板质量的思想,采用
可得
求质
“大化小,常代变,近似和,求极限”
的方法,
量M.
其中,表示n小块曲面的直径的
最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
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定义:
设为有界光滑曲面,
“乘积和式极限”
都存在,
的曲面积分
其中f(x,y,z)叫做被积
据此定义,曲面形构件的质量为
曲面面积为
f(x,y,z)是定义在
上的一个有界函数,
记作
或第一类曲面积分.
若对做任意分割和局部区域
则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面上对面积
函数,叫做积分曲面.
任意取点,
叫做曲面面积元素。
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则对面积的曲面积分存在.
•对积分域的可加性.
则有
•线性性质.
在有界光滑曲面上
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.
•积分的存在性.
若是分片光滑的,
例如分成两
片光滑曲面
连续,
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二对面积的曲面积分的计算法
定理:设有光滑曲面
f(x,y,z)在上连续,
存在,
则曲面
证明:由定义知
积分
且有
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则
(光滑)
取
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同理如果
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其中是球面
被平面
截出的顶部.
解:
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其中是由平面
坐标面所围成的四面体的表面.
解:设
上的部分,则
与
原式=
分别表示在平面
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例3计算
其中
是介于平面
之间的圆柱面
解
在
上
原式
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