文档介绍：该【基本不等式知识点归纳】是由【前程似锦教育】上传分享，文档一共【5】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【基本不等式知识点归纳】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。基本不等式知识点总结
向量不等式:
【注意】:a、b同向或有0 |a b||a| |b|≥||a| |b|||a b|;
a、b反向或有0 |a b||a| |b|≥||a| |b|||a b|;
a、b不共线 ||a| |b|||a b||a| |b|.(这些和实数集中类似)
代数不等式:
a,b同号或有
a,b异号或有

0
|a
b||a|
≥
;
|b|
|a||b||ab|
0
|a
b||a|
≥
.
|b|
|a||b||ab|
绝对值不等式:
a1
a2
a3≤a1
a2
a3
双向不等式:
a
b≤a
b≤a
b
(左边当
ab
≤
≥
0)
时取得等号,右边当
ab
≥
0(
≤
0)
时取得等号.)
0(
放缩不等式:
①ab0,am
0,则bm
bbm.
a
m
a
a
m
【说明】:b
b
m(a
b
0,m
0,糖水的浓度问题).
a
a
m
0,则b
b
m
a
n
a.
【拓展】:a
b
0,m
0,n
1
a
a
m
b
n
b
②a,b,c
R
,b
d,
b
b
d
d;
a
c
则a
a
c
c
③nN
,
n1
n
1
n
n1;
2
n
④n
N
,n
1
,
1
1
1
1
1
n
n
1
n2
n1
.
n
⑤lnx≤1x(x0),ex≥x1(xR).
函数
f
(
)
ax
b
(
、
0)
图象及性质
x
x
a
b
(1)函数f(x)
ax
b
a、b
0
图象如图:
y
x
b
2
ab
x
b
a
o
b
(2)函数f(x)
ax
a、b
0
性质:
2
ab
x
a
①值域:(
,
2
ab]
[2
ab,
);
②单调递增区间:
(
,
b],[
b
,
);单调递减区间:
(0,
b],[
b,0).
a
a
a
a
基本不等式知识点总结
重要不等式
1、和积不等式:
a,b
R
a2
b2
≥2ab(当且仅当a
b时取到“”).
【变形】:①ab≤(a
b)2≤a2
b2
(当a=b时,(ab)2
a2b2
ab)
2
2
2
2
【注意】:ab≤a
b(a,b
R),ab≤(ab)2(a,bR)
2
2
2、均值不等式:
两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系,即“平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均”
*.若x
1
2
(当且仅当x1时取“=”);
0,则x
x
若x
0
1
2
(当且仅当x
1时取“=”)
,则x
x
若x
1
1
2或x
1
(当且仅当a
b时取“=”)
0,则x
2即x
-2
x
x
x
*.若ab
0,则a
b
2
(当且仅当a
b时取“=”)
b
a
若ab
0,则a
b
2即a
b
2或a
b
-2(当且仅当a
b时取“=”)
b
a
b
a
b
a
3、含立方的几个重要不等式(
a、b、c为正数):
a3b3c3≥3abc(a
b
c
0等式即可成立,ab
c或ab
c0时取等);
*不等式的变形在证明过程中或求最值时,有广泛应用,如:当
ab
0时,a2
b2
2ab同时除
以ab得ba
2或b
11
a。
ab
a
b
2
a
*a,b,均为正数, 2a b
八种变式:
①ab
a2
b2
;②ab(
a
b
)2;
③(a
b)2
a2
b2
2
2
2
2
④ab
2(a2
b2);⑤若b>0,则a2
2a
b;⑥a>0,b>0,则1
1
4
;⑦若a>0,b>0,
b
a
b
a
b
则(1
1)2
4;⑧若ab0,则1
1
1(1
1)2。
a
b
ab
a2
b2
2a
b
上述八个不等式中等号成立的条件都是“
a
b”。
最值定理
(积定和最小)
①x,y0,由x
y≥
2
xy,若积xy
P(定值),则当xy时和xy有最小值2
p;
(和定积最大)
②
由
y
≥
2
xy
,若和x
y
S(定值),则当x
y是积xy有最大值1
2
x,y0,x
4
s.
y)2
y)2
【推广】:已知x,y
R,则有(x
(x
2xy.
(1
)若积xy是定值,则当|x
y|最大时,|x
y|最大;当|x
y|最小时,|xy|最小.
(2
)若和|x
y|是定值,则当
|xy|最大时,
|xy|最小;当|xy|最小时,|xy|最大.
③已知a,x,b,y
R,若ax
by
1,则有则
的最小值为:
1
1
1
1
by
ax
2
x
(axby)(
x
)ab
x
≥ab2ab
(ab)
y
y
y
④已知 ,若则和的最小值为:
① .
②
应用基本不等式求最值的“八种变形技巧” :
⑴凑系数(乘、除变量系数).
x4
时,求函的数y
x(8
2x)最大值.
⑵凑项(加、减常数项):
5
,求函数f(x)4x2
1
x2
4
4x
5的最大值.
⑶调整分子:(x)
7x
10(x
1)的值域;
x 1
⑷变用公式:基本不等式
易想到,应重视;

ab
ab有几个常用变形,
a2
b2
ab,a2
b2
(ab)2不
2
2
2
2
2

2x1
5
2x(1
x
5)的最大值;
2
2
16
⑸连用公式:例

b
0
,求y
a2
的最小值;
b(ab)
⑹对数变换:例

1,y
1,且xy
e,求t
(2x)lny的最大值;
2
⑺三角变换:例

y≤x
,且tanx3tany,求tx
y的最大值;
2
1
1
⑻常数代换(逆用条件):
0,b
0,且a
2b1,求t
a
的最小值.
b
“单调性”补了“基本不等式”的漏洞:
⑴平方和为定值
若x2
y2
a(a为定值,a
0),可设xacos
,yasin
,,其中0≤2.
①f(x,y)
x
yasin
acos2asin(
)在[0,1
],[
5,2)上是增函数,在
4
4
4
[1 ,5 ]上是减函数;
4 4
②g(x,y)xy
1
asin2
1
3
5
7
,2
1
3
5
7
2
在[0,
],[
,
],[
)上是增函数,在[
,
],[
,]
上是减函数;
4
4
4
4
4
4
4
4
1
1
xy
sin
cos
.令t
sin
cos2asin(
),其中
③m(x,y)
y
xy
asin
cos
x
4
t[2,1)(1,1)(1,2].由
t
2
12sincos
,得
2sin
2
,从而
ctos
1
m(x,y)
2t
2
在[
2,1)
(
1,1)(1,
2]上是减函数.
a(t2
1)
a(t
1
)
t
⑵和为定值
b(b为定值,b
0),则y
若x
y
b
x.
①g(x,y)
xy
x2
bx在(
,b]上是增函数,在[b,
)上是减函数;
2
2
b
②m(x,y)
1
1
x
y
b
.当b
0时,在(
x
y
xy
x2
,0),(0上,是]减函数,在
bx
2
[b,b),(b,
)上是增函数;当
b
0时,在(
,b),(b,b]上是减函数,在[b,0),(0,
)上是增函数.
2
2
2
③n(x,y)
x2
y2
2x2
2bx
b2
在(
,b]上是减函数,在
[b,)上是增函数;
2
2
⑶积为定值
若xy
f(x,y)
是增函数;当c
②m(x,y)
( , c],[ c,
③ n(x,y)

c(c为定值,c
0),则y
c.
c
x
x
y
x
.当c
0时,在[
c,0),(0,
c]上是减函数,在(
,c],[c,)上
x
0
时,在(
,0),(0,
)上是增函数;
11
xy1
(x
c
0时,在
[c,0),(0c,
]
x
y
xy
c
).当c
上是减函数,在
x
)上是增函数;当
c
0时,在(
,0),(0,
)上是减函数;
x2
y2
x2
c2
(x
c)2
2c
在(
,
c),(0,c]上是减函数,在
x2
x
( c,0],[ c, )上是增函数.
⑷倒数和为定值
若1
1
2
(d为定值,
1
,
1
,
1),则y
,可设公差为
z,其
x
y
d
x
d
y
x
中z
1,则1
1
z,1
1
z,得x
d
,y
d
..
d
x
d
y
d
1dz
1dz
①f(x)xy
2d
.当d
0时,在(
,
1
1
1
1
)上
1d
2
2
),(
d
,0]上是减函数,在[0,),(
,
z
,1),(1
d
1),(
1,
d
d
是增函数;当d
0
时,在(
,0]上是增函数,在
[0,
)上减函数;
d2
d
d
d
d
②g(x,y)
xy
..当d
0时,在(
,
1),(
1,0]上是减函数,在[0,1),(
1,
)上
1d2z2
,1),(1
d
d
1),(
1,
d
d
是增函数;当d
0
时,在(
,0]上是减函数,在
[0,
)上是增函数;
d
d
d
d
③n(x,y)x2
y2
2d2(d2z2
1)
..令t
d2z2
1,其中t≥1且t2
,从而
(d2z2
1)2
2d2t
2d
2
)上是减函数.
n(x,y)
2
4
在[1,2)上是增函数,在(2,
(t2)
4
t
t