基本不等式知识点归纳.pdf

文档介绍：该【基本不等式知识点归纳 】是由【业精于勤】上传分享，文档一共【13】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【基本不等式知识点归纳 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:.
基本不等式知识点归纳
ab

2
(1)基本不等式成立的条件:a0,b0.
(2)等号成立的条件:当且仅当ab时取等号.
[探究]“当且仅当”的含义?
abab
提示:①当ab时,ab取等号,即abab.
22
abab
②仅当ab时,ab取等号,即abab.
22

ba
a2b22ab(a,bR);2(ab0).
ab
ababa2b2
ab()2(a,bR);()2(a,bR)
222

ab
设a0,b0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为ab,基本不等式可叙述为:两个正实数的算术
2
平均数不小于它的几何平均数.

已知x0,y0,则
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当xy时,xy有最小值是2p.(简记:积定和最小).
p2
(2)如果和xy是定值p,,那么当且仅当xy时,xy有最大值是.(简记:和定积最大).
4
[探究](小)值时,等号取不到时,如何处理?
1
提示:当等号取不到时,,yx在x2时的最小值,利用单调
x
5
性,易知x2时y.
min2
[自测·牛刀小试]
0,n0,且mn81,则mn的最小值为()


解析:选A因为m>0,n>0,所以m+n≥2mn=281=18.
1
(x)x(x2)在xa处取最小值,则a()
x2:.
++
xz
0,y0,z0,xy2z0,则的()
y2
11

88
1
x的值域为____________________.
x
2
,过坐标原点的一条直线与函数f(x)的图象交于P、Q两点,则线段PQ长的
x
最小值是________.
利用基本不等式证明不等式
11
[例1]已知a0,b0,ab1,求证:(1)(1)9.
ab
11
保持例题条件不变,证明:a++b+≤2.
22
———————————————————
利用基本不等式证明不等式的方法技巧
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足使用
基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项、并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”
的代换法等.
bccaab
0,b0,c0,求证:abc.
abc
:.
利用基本不等式求最值
[例2](1)(2012·浙江高考)若x0,y0,满足x3y5xy,则3x4y的最小值是()
2428

55
b2
(2)已知a0,b0,a21,则a1b2的最大值为________.
2
———————————————————
应用基本不等式求最值的条件
利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:
(1)一正二定三相等.“一正”就是各项必须为正数;
(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积
的因式的和转化成定值;
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求
的最值,这也是最容易发生错误的地方.
11
1.(1)函数ya1x(a0,a1)的图象过定点A,若点A在直线mxny10(m,n0)上,求的最小值;
mn
(2)若正数a,b满足abab3,求ab的取值范围.
利用基本不等式解决实际问题
[例3]为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在20XX年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该
k
厂的年产量)x万件与年促销费用t(t0)万元满足x4(k为常数).如果不搞促销活动,则该产品的年销
2t1
,每生产1万件该产品需要再投入12万元,厂家将
(产品成本包括固定投入和再投入两部分).
(1)将该厂家20XX年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数;:.
(2)该厂家20XX年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?
———————————————————
解实际应用题时应注意的问题
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数;
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需再利用基本不等式求得函数的最值;
在求函数的最值时,一定要在定义域使实际问题有意义的自变量的取值范围内求.
有些实际问题中,要求最值的量需要用几个变量表示,同时这几个变量满足某个关系式,这时问题就变
成了一个条件最值,可用求条件最值的方法求最值.
,年销售量8万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品
每件定价最高为多少元?
(2)为了扩大该商品的影响力,,并
11
(x2600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入x万元作为
65
:当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与
总投入之和?并求出此时商品的每件定价.
1个技巧——公式的逆用
运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如a2b22ab逆用就是
a2b2ab
ab(a0,b0),逆用就是ab()2(a,b0)等,还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条
22
件等.
2个变形——基本不等式的变形
aba2b2
(1)()2ab(a,bR,当且仅当ab时取“”).
22:.
a2b2ab2
(2)ab(a0,b0,当且仅当ab时取“”).
2211

ab
3个关注——利用基本不等式求最值应注意的问题
(1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”
不等式求最值,这三个条件缺一不可.
(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”
的条件.
(3)连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.
创新交汇——基本不等式在其他数学知识中的应用
、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查基本不等式求最值问题.
,同时要注意基本不等式的使用条件.
8
[典例](2012·湖南高考)已知两条直线l:ym和l:y(m0),l与函数ylogx的图象从左至右
122m112
相交于点A、B,l与函数ylogx的图象从左至右相交于点C、D,记线段AC和BD在x轴上的投影长度分
22
b
别为a,,的最小值为()
a

[名师点评]

(1)本题是对数函数的图象问题,通过分析、转化为基本不等式求最值问题.
(2)本题将指数、对数函数的性质与基本不等式相结合,考查了考生分析问题、解决问题的能力.

(1)正确求出A、B、C、D四点的坐标;
(2)正确理解a,b的几何意义,并能正确用A、B、C、D的坐标表示;
8
(3)能用拼凑法将m(m0)化成利用基本不等式求最值的形式.
2m1
[变式训练]
(ab)2
0,y0,x,a,b,y成等差数列x,c,d,y成等比数列,则的最小值是()
cd

11
by20(a0,b0),被圆x2y22x4y10截得的弦长为4,则的最小值为()
ab
133
.+2D.+22
422
0,y0,且xyaxy恒成立,:.
练****br/>一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.(2012·福建高考)下列不等式一定成立的是()
11
(x2)lgx(x0)2(xk,kZ)
4sinx
1
12x(xR)D.1(xR)
x21
2.(2012·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab),其全程的平均时速为v,则()
vab
abab
v
22
11
0,b0,且ln(ab)0,则的最小值是()
ab
1

4
x22
4.(2013·淮北模拟)函数y(x1)的最小值是()
x1
+-
11k
0,b0,且不等式0恒成立,则实数k的最小值等于()
abab
.-4D.-2
6.(2013·温州模拟)已知M是ABC内的一点,且AB·AC=23,BAC300,若MBC,MCA和MAB
114
的面积分别为,x,y,则的最小值是()
2xy

二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
,每月土地占用费y与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y与到车站的距离
12
成正比,如果在距车站10公里处建仓库,这两项费用y和y分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最
12
小,仓库应建在离车站________公里处.
0,b0,ab2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是________(写出所有正确命题的编号).
11
①ab1②ab2③a2b22④a2b23⑤2.
ab
9.(2013·泰州模拟)已知x0,y0,x2y2xy8,则x2y的最小值是________.
三、解答题(本大题共3小题,每小题12分,共36分):.
adbcbcad
0,b0,c0,d:4.
bdac
,大桥上的车流速度v(单位:千米/
小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;
当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密
度x的一次函数.
(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;
(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)xv(x)可以
达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时)
logb1,则3a9b的最小值为________.
22
11
,b均为正实数,求证:ab22.
a2b2
51
,求f(x)4x2的最大值.
44x5
,公园由长方形ABCD的休闲区和环公园人行道(阴
1111
影部分),人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).
1111
|AB|
(1)若设休闲区的长和宽的比11=x(x1),求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式;
|BC|
11
(2)要使公园所占面积最小,则休闲区ABCD的长和宽该如何设计?
1111
:.
[归纳·知识整合]

(1)归纳推理:
①定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别
事实概括出一般结论的推理.
②特点:是由部分到整体、由个别到一般的推理.
(2)类比推理
①定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推
理.
②特点:类比推理是由特殊到特殊的推理.
[探究]?
提示:不一定,结论是否真实,还需要经过严格的逻辑证明和实践检验.

(1)模式:三段论
①大前提——已知的一般原理;
②小前提——所研究的特殊情况;
③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.
(2)特点:演绎推理是由一般到特殊的推理.
[探究]?
提示:不一定,只有前提是正确的,推理形式是正确的,结论才一定是真实的,错误的前提则可能导致错误的
结论.
[自测·牛刀小试]
()
①由圆的性质类比出球的有关性质;②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所
有三角形的内角和都是180°;③某次考试张军成绩是100分,由此推出全班同学成绩都是100分;④三角形的内
角和是180°,四边形的内角和是360°,五边形的内角和是540°,由此得出凸多边形的内角和是(n-2)·180°.
A.①②B.①③
C.①②④D.②④
:55=3125,56=15625,57=78125,…,则52013的末四位数字为()


3.(教材****题改编)有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则直线平行于平面内所有直线;已知直线b⊄平
面α,直线a⊂平面α,直线b∥平面α,则直线b∥直线a”,结论显然是错误的,这是因为():.


归纳推理
[例1](1)(2012·江西高考)观察下列各式:ab1,a2b2b34,a4b47,a5b511,,则
a10b10()

1
(2)设f(x),先分别求f(0)f(1),f(1)f(2),f(2)f(3),然后归纳猜想一般性结论,并给出证明.
3x3
利用本例(2)的结论计算f(2014)f(2013)f(1)f(0)f(1)f(2015)的值.
归纳推理的分类
常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类
(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,
同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等.
(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳.
1=113=1
1+2=313+23=9
1+2+3=613+23+33=36
:
1+2+3+4=1013+23+33+43=100
1+2+3+4+5=1513+23+33+43+53=225
……
可以推测:13+23+33+…+n3=________(n∈N*,用含n的代数式表示).
类比推理
nbma
[例2](2013·广州模拟)已知数列{a}为等差数列,若aa,ab(nm1,m,nN),则a,
nmnnmnm:.
类比等差数列{a}的上述结论,对于等比数列{b}(b0,nN),若ac,ad(nm2,m,nN),则可
nnnmn
以得到b________.
nm
———————————————————
类比推理的分类
类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法
(1)类比定义:在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时,可以借助原定义来求解;
(2)类比性质:从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手,提出类比推理型问题,求解时要认真分析
两者之间的联系与区别,深入思考两者的转化过程是求解的关键;
(3)类比方法:有一些处理问题的方法具有类比性,我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中,注意
知识的迁移.
111
ABC中,ABAC,ADBC于D,求证:.
AD2AB2AC2
演绎推理
a
[例3]已知函数f(x)(a0且a1).
axa
11
(1)证明:函数yf(x)的图象关于点(,)对称;
22
(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值.
———————————————————:.
演绎推理的结构特点
(1)演绎推理是由一般到特殊的推理,其最常见的形式是三段论,它是由大前提、小前提、
段论推理中包含三个判断:第一个判断称为大前提,它提供了一个一般的原理;第二个判断叫小前提,它指出了一
,提示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断:结论.
(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系,,若大前提不明确时,
一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.
a
(x)bx,其中a0,b0,x(0,),试确定f(x)的单调区间,并证明在每个单调区间上的增
x
减性.
2个步骤——归纳推理与类比推理的步骤
(1)归纳推理的一般步骤:
①通过观察个别情况发现某些相同性质;
②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想);
③检验猜想.
实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论
(2)类比推理的一般步骤:
①找出两类事物之间的相似性或一致性;
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);
③检验猜想.
观察、比较→联想、类推→猜想新结论
1个区别——合情推理与演绎推理的区别
(1)归纳是由特殊到一般的推理;
(2)类比是由特殊到特殊的推理;
(3)演绎推理是由一般到特殊的推理;
(4)从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明;若大前提和小前提正确,则演绎推理得到的
结论一定正确.
:.
创新交汇——合情推理与证明的交汇创新
、图形中的归纳推理、数列中的归纳推理;类比推理主要有运算的类比、
性质的类比、,而20XX年福建高考三角恒等式的推理与证明相结合出现在解
答题中,是高考命题的一个创新.
(特例的共性或一般规律);然后把这种相似性推广到一
个明确表述的一般命题(猜想);最后对所得的一般性命题进行检验.
一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.(2013·合肥模拟)正弦函数是奇函数,f(x)sin(x21)是正弦函数,因此f(x)sin(x21)是奇函数,以上
推理()

14xx2
2.(2013·银川模拟)当x∈(0,+∞)时可得到不等式x2,x()23,由此可以推广为
xx222x
p
xn1,取值p等于()
xn
1
3.(2012·江西高考)观察下列事实:|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数
解(x,y)的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12,…,则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)
的个数为()

2S
ABC的三边长分别为a、b、c,ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r;类比这个结论可
abc
知:四面体SABCD的四个面的面积分别为S、S、S、S,内切球的半径为R,四面体SABC的体积为
1234
V,则R=()
V2V
.
SSSSSSSS
12341234
3V4V
.
SSSSSSSS
12341234
“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),
(4,1),…,则第60个数对是()
A.(7,5)B.(5,7)C.(2,10)D.(10,1)
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
7.(2012·陕西高考)观察下列不等式
13
1+<,
222:.
115
1++<,
22323
1117
1+++<,
2232424
…
照此规律,第五个不等式为________.
8.(2012·湖北高考)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如22,121,3443,
回文数有9个:11,22,33,…,:101,111,121,…,191,202,…,
(1)4位回文数有________个;
(2)2n+1(n∈N*)位回文数有________个.
,依次连接正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形,再依次连接新正方形各
边中点又得到一个新的正方形,依此得到一系列的正方形,,沿正方形的边逆
时针方向爬行,每遇到新正方形的顶点时,沿这个正方形的边逆时针方向爬行,如此下去,
这10条线段的长度的平方和是()
10231023

2048768
5112047

10244096