文档介绍：第四节对称矩阵的相似矩阵
定理5 实对称矩阵的特征值为实数.
p 为对应的特征向量. 即于是有
两式相减,因为 p≠0,
定理 6 p1, p2 依次是它们对应的特征向量.
则 p1 与 p2 正交.
证由已知有
左乘(2)式的两端得
因为 A 是实对称矩阵,所以
于是
即 p1与 p2 正交.
定理7 设A 为n 阶对称矩阵, r 重根,
恰有 r个线性无关的特征向量.
定理 8 设 A 为 n 阶对称矩阵,则必有正交矩阵 P ,使,是以 A 的 n 个特征值为对角元素的对角矩阵.
它们的重数依次为 r1 , r2 ,……, rm , 于是, r1 + r2 + ……+ rm= n . 根据定理 5及定理 7 知,恰有 ri 个线性无关的实特征向量, 把它们正交单位化,即得 ri 个单位正交的特征向量, i =1,2,…, m .由 r1 + r
2 +……+ rm= n . 知这样的特征向量恰有 n 个. 又实对称矩阵不等的特征值对应的特征向量正交( 根据定理6 ),故这 n 个特征向量构成规范正交向量组. 以它们为列构成矩阵 P , 则为 P 正交矩阵,并有
恰是 A的n 个特征值.
为对角矩阵.
于是得正交矩阵
P = ( p1, p2, p3 )
且使得
为对角矩阵.
解 A 的特征多项式为
将其规范正交化.
正交化: 取
再单位化得
于是得正交矩阵
P = ( p1 , p2 , p3 )
且使得