文档介绍：抽象函数周期与对称轴的相关结论
一、教学内容抽象函数的周期与对称轴
二、教学重、难点重点:抽象函数周期与对称轴的相关结论。
难点:结论的推导证明,利用结论解决问题
三、具体内容
1. 若则的周期为。
2. 若则的周期为。
证:令∴
3. 若则的周期。
证:令∴①
令∴②
由①②得:
∴∴
4. 若则图象的对称轴为。
证:要证原结论成立只需证
令代入则
5. 若则的图象,以为对称中心。
证:方法一:要证原结论成立只需证
令代入
则
方法二:设它的图象为
则关于点的对称点
∵∴∴
【几个重要的结论】
(一)函数图象本身的对称性(自身对称)
1、函数满足(T为常数)的充要条件
是的图象关于直线对称。
2、函数满足(T为常数)的充要条件
是的图象关于直线对称。
3、函数满足的充要条件
是图象关于直线对称。
4、如果函数满足且,(和是不相等的常数),则是以为为周期的周期函数。
5、如果奇函数满足(),
则函数是以4T为周期的周期性函数。
6、如果偶函数满足(),
则函数是以2T为周期的周期性函数。
(二)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)
1、曲线与关于X轴对称。
2、曲线与关于Y轴对称。
3、曲线与关于直线对称。
4、曲线关于直线对称曲线为。
5、曲线关于直线对称曲线为。
6、曲线关于直线对称曲线为。
7、曲线关于点对称曲线为。
注:一个结论:设,都有且有个实根,则所有实根之和为
【典型例题】
【例1】对于,有下列命题。
(1)在同一坐标系下,函数与的图象关于直线对称。
(2)若且均成立,则为偶函数。
(3)若恒成立,则为周期函数。
(4)若为单调增函数,则也为单调增函数,其中正确的为
解:(2)(3)
【例2】若函数有求。
解: ,知的图象关于对称而的对称中心
∴∴则
【例3】设是定义在上的函数,均有,当时,,求当时,的解析式。
解:由有得
设则,
∴,∴时
【例4】已知是定义在上的函数且满足,当时有则
(1)是周期函数且周期为,(2)当时,
(3)其中正确的是?
解:(1)(2)(3)
【例5】已知满足,,当时且,若,,求大小关系?
解:由已知得,对称轴∴也为一条对称轴
∴∴由∴∴
∴,, ∴
【例6】定义在上的函数既是偶函数又是周期函数,若的最小正周期是,且当时,求的值。
解
【例7】设定义在上,有且当时,
(1)求证:且当时, (2)求证:在上递减。
解:(1)在中,令得
∵∴设,则令代入条件式
有而∴
(2)设则∴
令则代入条件式得
即∴∴在上递减
【模拟试题】
一、选择题
1. 已知满足,且是奇函数,若则( )
A. B. C. D.
2. 已知是定义在上的偶函数,且对任何实数均成立,当时,,当时,( )
A. B. C. D.
3. 若函数,都有则等于( )
A. B. C. D. 或
4. 函数是( )
A. 周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数
C. 周期为的奇函数 D. 周期为的奇函数
5. 的图象关于轴对称的充要条件是( )
A. B. C. D.
6. 如果且则可以是( )
A. B. C.