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2023年高考数学抽象函数解题技巧讲解
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,但给出了函数满足的一局部性质或运算法那么,下面通过例题来探讨
数学抽象函数解题技巧。
例:设y=蕊(x)是定义在区间[-1,1]上的函数,且满足条件:
(i)f(-1)=f(1)=0;
(ii)对任意的u,v∈[-1,1],都有—f(u)-f(v)—≤—u-v—。
(Ⅰ)证明:对任意的x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x;
(Ⅱ)证明:对任意的u,v∈[-1,1],都有—f(u)-f(v)—≤1。
解题:
(Ⅰ)证明:由题设条件可知,当x∈[-1,1]时,有f(x)=f(x)-f(1)≤—x-1—=1-x,即x-1≤f(x)≤1-x.
(Ⅱ)证明:对任意的u,v∈[-1,1],当—u-v—≤1时,有—f(u)-f(v)—≤1
当—u-v—>1,u·v0且v-u>1,其中v∈(0,1],u∈[-1,0)
要想使条件起到作用,须在[-1,0)上取一点,使之与u配合以利用条件,结合f(-1)=f(1)=0知,这个点可选-1。同理,须在(0,1]上取点1,使
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之与v配合以利用条件。所以,—f(u)-f(v)—≤—f(u)-f(-1)—+—f(v)-f(1)—≤—u+1—+—v-1—=1+u+1-v=2-(v-u)