文档介绍：量子力学习题
量子力学习题
(三年级用)
山东师范大学物理与电子科学学院
二OO七年
第一部分量子力学的诞生
1、计算下列情况的de -Broglie波长,指出那种情况要用量子力学处理:
(1)(μn=?10-24克;被铀吸收;
=?10-24克; )(2)能量为5MeV的a粒子穿过原子μa
(3)飞行速度为100米/秒,质量为40克的子弹。
2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对,如果两光子的能量相等,问要实现这种转化,光子的波长最大是多少?
3、利用de
量可能值。
-Broglie关系,及园形轨道为各波长的整数倍,给出氢原子能
第二部分波函数与Schr?dinger方程
1、设?(x)=1-a2x2
Ae2(a为常数)
(1)求归一化常数
(2)x=?,px=?.
1ikr1-ikr2、求?1=e和?2=e的几率流密度。 rr
3、若?=Aekx+Be-kx,求其几率流密度,你从结果中能得到什么样的()结论?(其中k为实数)
4、一维运动的粒子处于
?Axe-λx
?(x)=?0?x>0x<0
的状态,其中λ>0,求归一化系数A和粒子动量的几率分布函数。
5、证明:从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的,即求证
??υ=0 其中υ=j/ρ
6、一维自由运动粒子,在t=0时,波函数为
?(x,0)=δ(x) 求:?(x,t)=?
2
第三部分一维定态问题
1、粒子处于位场
?0V=??V0x?0x≥0(V0?0)
中,求:E>V0时的透射系数和反射系数(粒子由右向左运动)
2、一粒子在一维势场
V(x)
中运动。?∞?=?0?∞?x<00≤x≤a x>0
(1)求粒子的能级和对应的波函数;
(2)若粒子处于?n(x)态,证明:=a/2,
(x-x)
2a2?6?= 1-22?. 12?nπ?
3、若在x轴的有限区域,有一位势,在区域外的波函数为
如 C=
S11A+S12D
B=S21A+S22D
这即“出射”波和“入射”波之间的关系, S11
证明:S2122+S12+S2222=1=1
S11S12*+S21S22*=0
这表明S是么正矩阵
4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数
?∞?V(X)=?0
?V?0
5、求粒子在下列位场中运动的能级 x<00≤x≤a x>a
?∞?V(X)=?122μωx??2
6、粒子以动能E入射,受到双δ势垒作用 x≤0x>0
V(x)=V0[δ(x)+δ(x-a)]
求反射几率和透射几率,以及发生完全透射的条件。
7、质量为m的粒子处于一维谐振子势场V1(x)的基态,
1V1(
x)=kx2
2k>0
(1)若弹性系数k突然变为2k,即势场变为
V2(X)=kx2
随即测量粒子的能量,求发现粒子处于新势场V2基态几率;
(2)势场V1突然变成V2后,不进行测量,经过一段时间τ后,势场又恢复成V1,问τ取什么值时,粒子仍恢复到原来V1场的基态。
8、设一维谐振子处于基态,求它的?x
2,?p2x,并验证测不准关系。
第四部分力学量用算符表示
1、若H=122px+p2+pyz+V(x,y,z) 2μ()
?V证明:[H,Px]=i , ?x
px, [H,x]=-i μ
2、设[q,p]=i ,f(q)是q的可微函数,证明
2[q,pf(q)]=2ihpf,
(2)[p,pf(q)]=pf'; i(1)22
3、证明
?,[B?]]+[B?,A?]]+[C?,[A?,B?,C?,[C?]]≡0 [A
?,B?是厄密算符 4、如果,A
(1)证明(n??,B??A+B,iA)[]是厄密算符;
?B?是厄密算符的条件。(2)求出A
5、证明:
[][[]][[[]]]+
?,B?]都对易,证明 6、如果A,B与它们的对易子[A?1???1????-L???eAe=A+L,A+L,L,A,+L,L,L,A2!3!L
?+B+1A?,B?A?AB2e?e=e []
(提示,考虑f(λ)=e?λA?e?λB?e?+B?-λA(),证明df
dλ=λ[A,B]f然后积分)
?和A?7、设λ是一小量,算符A-1存在,求证
?-λB?-1+λA?-1B?-1+λ2A?-1+λ2A?-1B?-1B?-1+ ?)-1=A?A?A?A(A