文档介绍：2012培优材料2--导数的方法处理不等式问题
吴宝树 20120229
在新课程背景下,不等式内容已大幅度降低要求,压轴题中出现不等式内容,一般情况都需要转化为函数,利用函数的性质,通过求导,利用单调性求出极值、最值。
1、已知函数的定义域为。
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)探究是否是上的单调函数?若是,请证明;若不是,请说明理由;
(Ⅲ)求证:,(其中为自然对数的底数)。
2、
备用练****br/>1、已知函数
(Ⅰ)若,试确定函数的单调区间;
(Ⅱ)若,且对于任意,恒成立,试确定实数的取值范围;
(Ⅲ)设函数,求证:.
分析:本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识,考查运用导数研究函数性质的方法,考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法,考查分析问题、解决问题的能力。
2、设,对任意实数,记
(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)求证:(ⅰ)当时,对任意正实数成立;
(ⅱ)有且仅有一个正实数,使得对于任意正实数成立。
参考答案:
1、已知函数的定义域为。
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)探究是否是上的单调函数?若是,请证明;若不是,请说明理由;
(Ⅲ)求证:,(其中为自然对数的底数)。
解: (Ⅰ)由题意得关于的不等式的解集是区间,
则是方程的根,因此。K^S*#O%M
经检验时,函数的定义域为.
即符合题意.…………3分
(Ⅱ) ,设,则
…………5分
令,则
即是上的减函数…………7分
所以当时,=0,则<0.
因此是(0,上的减函数,而是(0,上的减函数,
则是上的单调增函数…………9分
(Ⅲ)先证不等式(成立.
设(,则,
即是(0,上的减函数,所以,因此……11分
取得不等式,即,则……13分
所以…………14分
分析:对不等式两边取自然对数得
比较,令得
2、
备用练****br/>1、已知函数
(Ⅰ)若,试确定函数的单调区间;
(Ⅱ)若,且对于任意,恒成立,试确定实数的取值范围;
(Ⅲ)设函数,求证:.
分析:本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识,考查运用导数研究函数性质的方法,考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法,考查分析问题、解决问题的能力。
解:(Ⅰ)由得,所以.
由得,故的单调递增区间是,
由得,故的单调递减区间是.
(Ⅱ)由可知是偶函数.
.
①当时,.此时在上单调递增.
故,符合题意.
②当时,.当变化时的变化情况如下表:
单调递减
极小值
单调递增
由此可得,在上,.
依题意,,①,②得,实数的取值范围是.
(Ⅲ),
,
,

由此得,
故.
2、设,对任意实数,记
(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)求证: