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一、行列式与矩阵
第一章《行列式》、其次章《矩阵》是线性代数中的根底章节,有必要娴熟把握。
行列式的核心内容是求行列式,包括详细行列式的计算和抽象行列式的计算,其中详细行列式的计算又有低阶和高阶两种类型;主要方法是应用行列式的性质及按行\列绽开定理化为上下三角行列式求解。对于抽象行列式的求值,考点不在求行列式,而在于相关性质,矩阵局部出题很敏捷,频繁消失的学问点包括矩阵运算的运算规律、运算性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等。
二、向量与线性方程组
向量与线性方程组是整个线性代数局部的核心内容。相比之下,行列式和矩阵可视作是为了争论向量和线性方程组局部的问题而做铺垫的根底性章节;后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立,可以看作是对核心内容的扩展。
向量与线性方程组的内容联系很亲密,许多学问点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两局部内容最有效的方法就是彻底理顺诸多学问点之间的内在联系,由于这样做首先能够保证做到真正意义上的理解,同时也是娴熟把握和敏捷运用的前提。
解线性方程组可以看作是动身点和目标。线性方程组(一般式)
还具有两种形式:(1)矩阵形式,(2)向量形式。
1)齐次线性方程组与线性相关、无关的联系
齐次线性方程组可以直接看出肯定有解,由于当变量都为零时等式肯定成立;印证了向量局部的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。
齐次线性方程组肯定有解又可以分为两种状况:①有唯一零解;②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时,是指等式中的变量只能全为零才能使等式成立,而当齐次线性方程组有非零解时,存在不全为零的变量使上式成立;但向量局部中推断向量组是否线性相关\无关的定义也正是由这个等式动身的。故向量与线性方程组在此又产生了联系:齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关\无关的”概念就是为了更好地争论线性方程组问题而提出的。
2)齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系
同样可以认为秩是为了更好地争论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”。经过“秩→线性相关\无关→线性方程组解的判定”的规律链条,就可以判定列向量组线性相关时,齐次线性方程组有非零解,且齐次线性方程组的解向量可以通过r个线性无关的解向量(根底解系)线性表示。
3)非齐次线性方程组与线性表示的联系
非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由列向量组线性表示,使等式成立的一组数就是非齐次线性方程组的解。
三、特征值与特征向量
相对于前两章来说,本章不是线性代数这门课的理论重点,但却是一个考试重点。其缘由是解决相关题目要用到线代中的大量内容——既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关,“牵一发而动全身”。本章学问要点如下:
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,需要区分矩阵的相像、等价与合同:
,包括两个充要条件和两个充分条件。充要条件1是n阶矩阵有n个线性无关的特征值;充要条件2是任意r重特征根对应有r个线性无关的特征向量。
,n阶实对称矩阵必可正交相像于对角阵。
四、二次型
本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延长,由于化二次型为标准型的核心学问为“对于实对称矩阵存在正交矩阵使得可以相像对角化”,其过程就是上一章相像对角化在为实对称矩阵时的应用。
本章学问要点如下:
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(中国大学网 . ■)