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>.
组数―-二三四五八
2kn+a兀
角兀+_La
n+a—a7t-a2~a2
(%EZ)
正[弦sina-sina-sinasinacosacosa
余余cosa-cosacosa—cosasina—sina
正切tanatana-tana—tana一
角度1利用诱导公式化简三角函数式
*例2(1)化简:
*2
sml|tan(27r—a)1
7C------sina—•
cos|acos|^+ajsin(7i4-a)
..f2sin10°sin100°
(2)化简u----------1「
cos80°—yj1—sin2170°
hicosa(—cosa)tan2a
[解析]⑴原式=--广~~J—7
,sina(-sina)(—sina)
7sin%
_______cos%]
sin%sina
\l-2sin10°cos10°
(2),?cos10°>sin10°,
sin10°—cos10°
水210°—2sin10°cos100+cos210°|sin10°-cos10°|cos10°-sin10°
sin100—cos100sin10°—cos10°—(cos10°—sin10°)
角度2“换元法”的应用
»例3已知cos《-8)=a,则cos管+8)+sin伶一。)的值是Q.
[解析]因为cos管+@=cos[兀一6一。)
=一3/一。)=一
=sin任+(聿-'=cos《-e)=a,
所以cos管+。)+sin停一。)=0.
_____________________
—一点破
(1)诱导公式的两个应用方向与原则:
①求值:化角的原则与方向:负化正,大化小,化到锐角为终了.
②化简:化简的原则与方向:统一角,统一名,同角名少为终了.
(2)注意已知中角与所求式子中角隐含的互余、互补关系、巧用诱导公式解题,常见的
互余关系有全一a与聿+a;与聿一a;彳+a与今一。等,互补关系有事+a与专一a;j+a
与牛一a等.
〔变式训练2〕
sin(a-3兀)cos(2兀a)sinl-a+亍)
(1)(角度1)已知川田=------------------------;----.
cos(-7i—ct)sin(—7i—a)
①化简/(a);
②若a是第三象限的角,且cos(a—咨)=/求次a)的值.
(2)(角度2)(202卜唐山模拟)已知a为钝角,sin住+a)=,,则sin住一a
sin(a—3兀)cos(2兀一a)sin(-。+芝I
[解析]⑴颂a)=
cos(—it-a)sin(—Tt—a)
(—sina)・coscr(—cosa)
(—cosa)-sina
=cosa.
②因为cos(a—当)=sin%所以sina=—1.
又。是第三角限的角,
所以cosa=-41-(一—邛金
所以/□)=乎.
因为a为钝角,
所以看情+a亭,
所以cos(^+«J<0.
所以cos(^+a^=-yj1-Q)2=
名师讲坛•素养提升
sinx+cosx,sinx-cosx,sinxcosx之间的关米
2例4(2021•北京东城模拟)已知sin8+cos。=春。£(0,兀),则tan8=二号
7
[解析]解法一:因为sinO+cos夕=F,。£(0,兀)
49
所以(sin9+cos。)2=1+2sin0cos
sinOcos0=
由根与系数的关系,知sinacos。是方程f—强x—"^二。的两根,所以工]=3,
__5_
=一m
因为。£(0,71),所以sin<9>0.
匕uz•八125sin012
所以sin。=百,cos0=一瓦,tan。=五刁=一彳".
解法二:同解法一,得sin8cos。=—
”7sinOcos。60三一—,口tan060…0八12八
所以而而嬴=一旃,弦化切,付高亦7=一旃,解传tan'=一7或tanO=-
5
12,
760
又。£(0,兀),sin夕+cos。=百>0,sinOcos。=-y^vO.
・二夕《传,兀),且sin0>\cos外
sin012
=|tan0|>1,Atan0=—^.
,7
sin<9+cos9=77,
解法三:解方程组J13
,sin20+cos20=1.
故tan0=y.
名师支被
sinx+cosx、sinx-cosx、sinxcosx之间的关系为(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx,(sinx
—cosx)2=1-2sinxcosx,(sinx+cosx)2+(sinx-cosx)2=2.
因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值,便可求其余两个代数式的值.
〔变式训练3〕
JT1
⑴(2021•山东师大附中模拟)已知一gvavO,sina+cosa=§,则cos%—sin%的值为
C)
7
AB.
-525
24
CD.
.苧25
(2)若[—+~—=事,则sinacoscc=(A)
、7sinacosavv7
A.-
C,一§—1
[解析]⑴解法一:二飞出a+cosa=,,
二(sina+cosa)2=^,二sinacosa=-1|,
又a£(一$0),/.sin«<0,cosa>0,
cosa—sina=yj(sina-cosa¥=N1—2sinacos」=亍
**cos2a—sin2a(cosa—sina)(cosa+sina)79故选。
r..1
sina+cosQ=§,
解法二:由解法一知彳7得
Isina—cosa=一,,
sina3
tana=------=-T.
cosa4
_____1______sin2a+cos2a1+tan2c
cos2a-sin2acos2a-sin2a1-tan2<z
1+T625,,..c
一~»故选C・
11
⑵由小,可得sina+cosa=V5sinacosa,两边平方,#l+2sinacosa
sinacosa
=3sin2acos2a,解得sinacosa=—;或sinacosa=l.
由题意,知一Ksinavl,—l<cosa<l,且sinaHO,cosaWO,所以sinacosaH1,故
选A.