文档介绍：该【高中数学求轨迹方程的六种常用技法 】是由【1485173816】上传分享，文档一共【11】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【高中数学求轨迹方程的六种常用技法 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。求轨迹方程六种常用技法
轨迹方程探求是解析几何中根本问题之一,也是近几年来高考中常见题型之一。学生解这类问题时,不善于提醒问题内部规律及知识之间相互联系,动辄就是罗列一大堆坐标关系,进展无目大运动量运算,致使不少学生丧失信心,半途而废,因此,在平时教学中,总结和归纳探求轨迹方程常用技法,对提高学生解题能力、优化学生解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程常用技法。
根据条件及一些根本公式如两点间距离公式,点到直线距离公式,直线斜率公式等,直接列出动点满足等量关系式,从而求得轨迹方程。
,直线相交于,且它们斜率之积是,求点轨迹方程。
解:以所在直线为轴,垂直平分线为轴建立坐标系,那么,设点坐标为,那么直线斜率,直线斜率
由有
化简,整理得点轨迹方程为
练****br/>,那么点轨迹方程是。
,且与椭圆交于、两点,是上满足点,求点轨迹方程。
,在过其中一条直线且平行于另一条直线平面内轨迹是 〔 〕
通过图形几何性质判断动点轨迹是何种图形,再求其轨迹方程,这种方法叫做定义法,运用定义法,求其轨迹,一要熟练掌握常用轨迹定义,如线段垂直平分线,圆、椭圆、双曲线、抛物线等,二是熟练掌握平面几何一些性质定理。
,和两边上中线长之和是,那么重心轨迹方程是_______________。
解:设重心为,那么由和两边上中线长之和是可得
,而点为定点,所以点轨迹为以为焦点椭圆。
所以由可得
故重心轨迹方程是
练****br/> 〔 〕
圆锥曲线中与弦中点有关问题可用点差法,其根本方法是把弦两端点坐标代入圆锥曲线方程,然而相减,利用平方差公式可得,,,等关系式,由于弦中点坐标满足,
且直线斜率为,由此可求得弦中点轨迹方程。
,过弦恰被点平分,那么该弦所在直线方程为_________________。
解:设过点直线交椭圆于、,那么有
①②
①②可得
而为线段中点,故有
所以,即
所以所求直线方程为化简可得
练****br/>、两点,求弦中点轨迹方程。
,过点能否作一条直线与双曲线交于两点,使为线段中点?
转移法求曲线方程时一般有两个动点,一个是主动,另一个是次动。
当题目中条件同时具有以下特征时,一般可以用转移法求其轨迹方程:
①某个动点在方程曲线上移动;
②另一个动点随变化而变化;
③在变化过程中和满足一定规律。
,求重心轨迹方程。
解:设重心,点,因为
那么有,故代入
得所求轨迹方程
,过点作直线交抛物线、两点,再以、为邻边作平行四边形,试求动点轨迹方程。
解法一:〔转移法〕设,∵,∴平行四边形中心为,
将,代入抛物线方程,得,
设,那么
①
∴,
∵为中点.∴,消去得
,由①得,,故动点轨迹方程为。
解法二:〔点差法〕设,∵,∴平行四边形中心为,
设,那么有
①②
由①②得③
而为中点且直线过点,所以代入③可得,化简可得④
由点在抛物线口内,可得⑤
将④式代入⑤可得
故动点轨迹方程为。
练****br/>7.,在平面上动点满足,点是点关于直线对称点,求动点轨迹方程。
求曲线轨迹方程是解析几何两个根本问题之一,求符合某种条件动点轨迹方程,其实质就是利用题设中几何条件,通过“坐标互化〞将其转化为寻求变量间关系。在确定了轨迹方程之后,有时题目会就方程中参数进展讨论;参数取值变化使方程表示不同曲线;参数取值不同使其与其他曲线位置关系不同;参数取值变化引起另外某些变量取值范围变化等等。
、两点,。
〔1〕求点轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线;
〔2〕是否存在这样直线,使矩形?假设存在,求出方程;假设不存在,说明理由。
解:当直线斜率存在时,设方程为,代入方程,得
因为直线与双曲线有两个交点,所以,设,那么
①
设,由得
∴所以,代入可得,化简得
即②
当直线斜率不存在时,易求得满足方程②,故所求轨迹方程为,其轨迹为双曲线。〔也可考虑用点差法求解曲线方程〕
〔2〕平行四边为矩形充要条件是即③
当不存在时,、坐标分别为、,不满足③式
当存在时,
化简得,
此方程无实数解,故不存在直线使为矩形。
练****br/>,过点直线交椭圆于点、,是坐标原点,点满足,点坐标为,当绕点旋转时,求:
(1)动点轨迹方程;(2)最小值与最大值。
,且,过作于,求点轨迹方程。
假设动点是两曲线交点,可以通过这两曲线方程直接求出交点方程,也可以解方程组先求出交点参数方程,再化为普通方程。
,、是椭圆长轴两个端点,求直线和交点轨迹方程。
解1:(利用点坐标作参数)令,那么
因为共线,所以因为共线,所以
两式相乘得①,而即代入①
得, 即交点轨迹方程为
解2:(利用角作参数)
设,那么
所以,两式相乘消去
即可得所求点轨迹方程为。
练****br/>。
总结归纳
,,在求曲线方程时一定要注意它“完备性〞和“纯粹性〞,即轨迹假设是曲线一局部,应对方程注明取值范围,或同时注明取值范围。
2.“轨迹〞与“轨迹方程〞既有区别又有联系,求“轨迹〞时首先要求出“轨迹方程〞,然后再说明方程轨迹图形,最后“补漏〞和“去掉增多〞点,假设轨迹有不同情况,应分别讨论,以保证它完整性。
练****参考答案
1.
:设点坐标为,那么由方程,得
由于直线与椭圆交于两点、,故
即、两点坐标分别为
∴
由题知即
∴即所以点轨迹方程为
【解析】在长方体中建立如下图空间直角坐标系,易知直线与是异面垂直两条直线,过直线与平行平面是面,设在平面内动点满足到直线与距离相等,作于,于,于,连结,易知平面,那么有,(其中是异面直线与间距离),即有,因此动点轨迹是双曲线,选D.
,
.P
.
M
A
那么,由,
O
B
两式相减并同除以得
, 而
,又因为所以
化简得点轨迹方程
,但此时直线与双曲线并无交点,所以这样直线不存在。中点弦问题,注意双曲线与椭圆不同之处,椭圆不须对判别式进展检验,而双曲线必须进展检验。
:设,那么
由
即
所以点轨迹是以为圆心,以3为半径圆。
∵点是点关于直线对称点。
∴动点轨迹是一个以为圆心,半径为3圆,其中是点关于直线对称点,即直线过中点,且与
垂直,于是有即
故动点轨迹方程为。
:(1)解法一:直线过点,设其斜率为,那么方程为
记、由题设可得点、坐标、是方程组
①
②
解
将①代入②并化简得,,所以于是
设点坐标为那么消去参数得③
当不存在时,、中点为坐标原点,也满足方程③,所以点轨迹方程为
解法二:设点坐标为,因、在椭圆上,所以
④⑤
④—⑤得,所以
当时,有⑥
并且⑦将⑦代入⑥并整理得⑧
当时,点、坐标为,这时点坐标为
也满足⑧,所以点轨迹方程为
(2)解:由点轨迹方程知,即所以
故当,取得最小值,最小值为时,取得最大值,最大值为
:(常规设参)设,,那么
〔※〕
由共线得那么
把〔※〕代入上式得化简得轨迹方程为)
解法2:(变换方向)设方程为,那么方程为
由 得, 由 得
所以直线方程为①
因为,所以直线方程为②
①×②即得轨迹方程:
解法3:(转换观点)视点为定点,令,由可得直线方程为,与抛物线联立消去得,设,那么
又因为,所以
故即