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二次函数的应用复****课(二)
-----求利润最大化问题的教课方案
道县四马桥镇中学蒋鹏
一、学情分析:
知识技术基础:由简单的二次函
y=x2→y=ax2→y=ax2+c→y=a(x-h)2→y=a(x-h)2+k→y=ax2+bx+c,学生已经
掌握了二次函数的三种表示方式和性质。
学生的活动经验基础:在前面对二次函数的研究中,学生研究了二次函数的图象和性质,掌握了研究二次函数常用的方法。
二、教课任务分析
“如何获取最大利润”仿佛是商家才应该考虑的问题,但是这个问题的数学模型正是我们研究的二次函数的范围。二次函数化为极点式后,
很简单求出最大或最小值。而何时获取最大利润就是当自变量取何值
时,函数值取最大值的问题。所以本节课中要点的问题就是如何使学生把实质问题转变成数学问题,从而把数学知识运用于实践。即能否能把
实质问题表示为二次函数,能否能利用二次函数的知识解决实质问题,并对结果进行解说。
详尽地,本节课的教课目标是:
(一)知识与技术
1、能依据实质问题建立二次函数关系式,并研究出何时刻,实质
问题可获得理想值,加强学生解决实质问题的能力。
2、可以分析和表示实质问题中变量之间的二次函数关系,并运用
二次函数的知识求出实质问题的最大(小)值,发展解决问题的能力。
(二)过程与方法
经历销售中最大利润问题的研究过程,让学生认识数学与人类生
活的亲近联系及对人类历史发展的作用,发展学生运用数学知识解决实
际问题的能力、体验数学建模的思想.
(三)感情态度与价值观
1、让学生领悟到领悟数学与人类社会的亲近联系,认识数学
的价值。增进对数学的理解和学好数学的信心。
2、认识到数学是解决实质问题和进行交流的重要工具,认识数学
对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。
教课要点:可以分析和表示实质问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实质问题的最值。
教课难点:可以分析和表示实质问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实质问题的最值。
三、教课方法与手段的选择:
因为本节课是应用问题,重在经过复****总结解决问题的方法,以学生着手动脑研究为主,必需时加以小组合作谈论,充分调动学生学****踊跃性和主动性,突出学生的主体地位,达到“不仅使学生学会,并且使
学生会学”的目的。为了提高课堂效率,展现学生的学****成效,合适地辅以电脑多媒体技术。
三、教课过程分析
本节课设计了六个教课环节:复****回顾、创建问题情境解说新课、牢固练****实践应用、课堂小结、课后作业。
(一)、复****回顾
1、复****二次函数y=ax2+bx+c的相关性质:极点坐标、对称轴、最
值等。
2、复****二次函数的三种表达式:①一般式:(a≠0)
②极点式:(a≠0)
③交点式(a≠0)
3、复****这节课所要用的其余相关知识:利润=售价-进价,总利润
=每件利润×销售额
设计企图:牢固已学知识,为新课的研究做好铺垫。
(二)、创建问题情境,引入新课
聚焦中考典型例题分析:(相关利润的问题)
例1、某商品此刻的售价为每件60元,每礼拜可卖出300件,市
场检查反响,假如调整价格,每涨价1元,每礼拜少卖10件,每降价
1元。每礼拜多卖18件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能
获取最大利润?
谈论涨价与降价都有可能获取最大利润吗?需要分类谈论吗?
涨价状况下最大利润是多少?想想:若每件涨价x元则此商品
(1)每件利润为元。
(2)每礼拜销售额可以表示为;
(3)所获利润可以表示为;
(4)当销售单价是元时,可以获取最大利润,最大利润是。这
是一个有实质意义的问题,要想解决它,就一定找寻出问题自己所隐含的一些关系,并把这些关系用数学的语言表示出来。
设每礼拜所获利润为y元,则:
y=(60-40+x)(300-10x)=-10x2+100x+6000=-10(x-5)2+6250。
x=5时y的最大值是6250
即当在涨价状况下,涨价5元,定价65元时,每礼拜所获利润最大,最大利润是6250元。
2、在降价状况下,最大利润又是多少?
我们用近似的方法进行分析:
设每件降价x元,所获利润为y元,则有:
y=(60-40-x)(300+18x)=-18(x-5/3)2+6050
所以,当x=5/3时,y的最大值为6050.
即在降价状况下,降价5/3元,定价175/3元时,利润最大,最大利润是6050
元。
设计企图:
经过这个实质问题,让学生感觉到二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感觉数学的应用价值。在这里帮助学生分析和表示实质问题中变量之间的关系,帮助学生意会有效的思虑和解决问题的方法,学会思虑、学会分析,是教课的一个重要内容。
(三)合灵巧运用自主研究:
例2、已知某商品的进价为每件40元,售价是每件60元,每礼拜可卖出300件。市场检查反响:假如调整价格,每涨价1元,每礼拜要少卖出10件。要想获取6000元的利润,该商品应定价为多少元?
列表分析1:总售价-总进价=总利润
设每件涨价x元,则每件售价为(60+x)元
总售价=单件售价×数目总进价=单件进价×数目
利润
(60+x)(300-10x)40(300-10x)6000
列表分析2:总利润=单件利润×数目
总利润=单件利润×数目
利润
(60-40+x)(300-10x)6000
请同学们连续完成!
(三)、归纳点拨:
求最利润最值应用问题的一般步骤是:
1、建模,列出函数的表达式;
2、确立函数自变量的取值范围;
3、最值,在自变量取值范围内,用点顶值(端点值)求出最大值
(最小值)。
(四)牢固练****br/>某商店购进一批单价为20元的日用品,假如以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件。依据销售经验,提高销售单价会以致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件。如何提高售价,才能在半个月内获取最大利润?
解:设销售单价为;元,销售利润为y元,则
y=(x-20)[400-20(x-30)]
-20x2+1400x-20000
-20(x-35)2+4500。
所以当x=35元,即销售单价提高5元时,可在半月内获取最大利润
4500元.
(五)、课堂小结
本节课经历了研究商品销售中最大利润等问题的过程,领悟了二次
函数是一类最优化问题的数学模型,并感觉了数学的应用价值。学会了
分析和表示实质问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知
识求出实质问题中的最大(小)值,提高解决问题的能力。本节所学思想方法:建立函数关系,用函数的看法、思想分析实质问题。
(五)、课后作业
1、某商店进行促销活动,假如将进价为8元/件的商品按每件10
元销售,每天可销售100件。现采纳提高售价、减少进货量的方法增添利润。已知这类商品的单价每涨1元,其销售量就要减少10件,问将售价定为每件多少元时,才能使每天所赚利润最大?并求出最大利润
2、某商场购进一种单价为40元的篮球,假如以单价50元售出,那么每个月可售出500个,依据销售经验,售价每提高1元,销售量相应
减少10个。
1)假设销售单价提高x元,那么销售每个篮球所获取的利润是元;这类篮球每个月的销售量是多少个?(用含x的代数式表示)。
2)8000元能否为每个月销售这类篮球的最大利润?假如是,请说明原由;假如不是,请你求出最大利润,此时篮球的售价应定为多少元?
设计理念
本节课的设计,我以学生活动为主线,经过“观察、分析、研究、交流”等过程,让学生在复****中温故而知新,在应用中获取发展,
从而使知识转变成能力。学生在活动中可以体验到分析数学问题的快乐,丰富数学活动的经历和累积数学分析的经验;学生在“自主
研究”、“合作交流”、“勇于试试”中可以体验到知识的深入和
成功的欢乐;学生在“合作与交流”中提高自我的价值。在教材办理
上,我对教课内容进行了合理的加工和改进,使教课吻合学生的认
知规律。本节教课过程,环环相扣,密切联系,表现了让学生成为行为主体即“着手实践、自主研究、合作交流”的《数学新课标》要求。本设计同时还侧重发挥多媒体的辅助作用,使学生更好地理解数学知识;贯穿整个课堂教课的活动设计,让学生在活动、合作、开放、研究、交流中,欢乐地参加数学活动的数学教课。