易拉罐形状和尺寸的最优设计.ppt

文档介绍：易拉罐形状和尺寸的最优设计
销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来,这并非偶然,这应该是某种意义下的最优设计。
问题:
①取一饮料容量为355毫升的易拉罐,测量你们认为验证模型所需要的数据,并把数据列表。
②设易拉罐是一个正圆柱体。求它的最优设计,并验证其结果是否可以合理地说明易拉罐的形状和尺寸。
③设易拉罐的中心纵断面的上面部分是一个正圆台,下面是正圆柱体。求其最优设计。
1、制造易拉罐所消耗的材料的体积最小即为最优设计;
2、易拉罐的顶部多重卷边与拉环忽略不计,罐顶是平的,且厚度均匀;
3、易拉罐的底部的凹度忽略不计,罐底是平的,且厚度均匀;
4、易拉罐的侧壁厚度均匀;
5、饮料量恰好充满易拉罐的体积。
模型假设
问题一求解:
外直径
内直径2r
外高
内高
h
上底厚k1
下底厚k2
侧厚
k
上底内直径2r1
圆台内高h1
圆柱内高h2










内直径 d=2r=-2×=
内高 h=--=
圆柱内高 h2=h-h1=-=
从上表的数据可以做如下假设:
1. k1=k2=3k
2. h=2d=4r
问题二求解:
h
2r
2r
模型一:
目标函数:
min SV=(2πrk+πk2)×(h+k1+k2)+πr2k1+πr2k2
约束条件:
πr2h=V
可得:h=V/(πr2) 代入目标函数,利用Mathematica求解。
h/r=6
根据问题一所测得的数据发现,不满足最优设计。
问题三求解:
SV=SV圆柱侧+SV圆台侧+SV圆柱下底+SV圆台上底
模型二:
目标函数:
Min SV=(2πrk+πk2) ×(h2+k1)+π(h1+k1) ×(rk+r1k+k2)+πr2k1+πr12k1
约束条件:
V=πr2h2+[πh1(r2+rr1+r12)]/3
利用Lingo软件求解
R=
H2=
SV=
满足最优设计
2r
2r1
h1
h2
圆柱部分与圆台部分的侧厚相等为k,圆柱下底与圆台上底厚度相等都为k1
问题四求解:
h
2r1
2r1
椭球的内长轴为b,内短轴为a

模型三的假设:椭球切割法
SV侧=
=
SV上底=SV下底=

=
SV=SV侧+SV上底+SV下底
V=
建立数学模型三:
目标函数:

约束条件:
利用Lingo数学软件求解
内高 h=
内半径r1=
内长径b=
内短径a=
总体积SV=
h
2r1
2r1
单叶双曲面的上下底
厚度为k1,侧壁厚度为k
模型四的假设:单叶双曲面切割法
SV侧=
=
SV上底=SV下底=

=
SV=SV侧+SV上底+SV下底
V=
SV侧=
=
建立数学模型四:
目标函数:

约束条件:
利用Lingo数学软件求解
内高 h=
内半径r1=
内长径b=
内短径a=
总体积SV=