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高考数学不等式的证明方法
【摘要】本文介绍的中学数学不等式的证明方法主要有比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法、换元法、构造法、数学归纳法。
【关键词】中学数学、不等式、证明、方法
不等式的证明是中学数学的一项基本内容,证明不等式的方法多种多样、根据本人的多年教学实践认为:中学数学不等式的证明主要的也是基本的方法就是比较法、综合法、分析法、反证法、数学归纳法等几种方法。当然在运用这些方法的过程中还需要运用一些其他方法,如放缩法、换元法、构造法等等,现介绍如下。
一、比较法:比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法,它常用的证明方法有两种:
(1)应用范围:当欲证的不等式两端是多项式、分式或对数式时,常用此法。
(2)方法:欲证A>B,只需要证A-B>0
(3)步骤:“作差----变形----判断符号”。
(4)使用此法作差后主要变形形式的处理:
○将差变形为常数或一个常数与几个平方和的形式常用配方法或实数特征a2≥0判断差的符号。
○将差变形为几个因式的积的形式,常用因式分解法。
○若变形后得到二次三项式,常用判别式定符号。
总之,变形的目的是有利于判断式子的符号,而变形方法不限定,也就是说,关键是变形的目标。
(1)应用范围:当要证的式子两端是乘积的形式或幂、指数时常用此法。
(2)方法:要证A>B,常分以下三种情况:
若B>0,只需证明;
若B=0,只需证明A>0;
若B<0,只需证明。
(3)步骤:“作商-----变形-----判断商数与1的大小”
例1 已知a,b∈R,且a+b=1. 求证:.
解析:用作差比较法
即(当且仅当时,取等号)
例2:已知a, b, m都是正数,并且a < b,求证:
解析:用作差比较法
∵
∵a,b,m都是正数,并且a<b,∴b + m > 0 , b - a > 0
∴即:
例3:已知a>b>0,求证:
解析:用作商比较法
∵
又∵a>b>0,
例4:已知0 < x < 1, 0 < a < 1,试比较的大小。
解析:法1:用作差比较法
∵0 < 1 - x2 < 1, ∴
∴
法2:用作商比较法
∵0 < 1 - x2 < 1, 1 + x > 1, ∴
∴∴
二、综合法:用综合法证明不等式,就是利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后推出所要证
明的不等式,其特点和思路是“由因导果”,从“已知”看“可知”,逐步推出“结论”综合法属逻辑方法范畴,它的严谨体现在步步注明推理依据。常用的不等式有:
(1)
(2)
(3)
(4)
例5:若a、b、c是不全相等的正数,
求证:
解析:根据本题的条件及要证明的结论,可用综合法证明。
又a,b,c,为不全相等的正数,故有
解析:左式含有分母,右式为整式,故应设法化去左式的分母,考虑用综合法。
:
三、分析法:分析法是指从需证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,进而转化为判定那个条件是否具备,其特点和思路是“执果索因”,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”。
分析法一般用于综合法难以证明的不等式。
分析法属逻辑方法范畴,它的严谨体现在分析过程步步可逆。
例7:若0<a<c,,b<c,求证:
解析:原不等式形式复杂,不宜直接由一端过渡到另一端,故可作等价变形,
用分析法证明。要证
只要证
也即a2-2ac<-ab
∵a>0,∴只要证a+b<2c
由题设条件,显然有a+b<2c成立。
所以,原不等式成立。
解析:直接不好入手,用分析法证明。要证原不等式成立,只需证明
∵,即有
有些不等式的证明,需要一边分析一边综合,称之为综合分析法。
四、反证法:可以从正难则反的角度考虑,即要证明不等式A>B,先假设A≤B,由题设及其它性质,推出矛盾,从而肯定A>B。凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时,可以考虑用反证法。
例9:已知a>0,b>0,且a+b>2
解析:由于题目结论是:至少有一个小于2,情况较复杂,讨论起来比较繁,宜采用反证法。
∵ a>0,b>0,∴1+b≥2a,1+a≥2b,
两式相加可得1+b+1+a≥2(a+b)
即a+b≤2,这与已知a+b>2矛盾。故假设不成立
例10、设0 < a, b, c < 1,求证:(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同时大于
解析:假设(1 - a)b >, (1 - b)c >, (1 -