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第一页,共二十四页。
(优选(Xuan))离散小波变换与框架
第二页,共二十四页。
其卷积(Ji)型定义有:
(式3-4)
即:
对于二进小波,令a0=2,b0=:
(式3-5)
(式3-6)
对于a0、b0的选取,依赖于小波母函数。
第三页,共二十四页。
我们最为关切的问题:
(t)?
(t)∈L2(R),是否能表示为基函数ψj,k(t)的线性组合?
上述两个问题实质上是一个问题的两个方面,即能否用离散小波系数将f(t)完全“特征化”。若用数学语言来描述,就是能否这样定义(Yi)线性变换:使得其正反变换连续。
,表明线性变换有界:
即:
,可得:
即:
(式3-8)
(式3-7)
以上两式表明,将f(t)完全“特征化”意味着ψj,k(t)应满足:
(式3-9)
由此便引出了L2(R)空间的“框架”概念。
第四页,共二十四页。
二、框架
1、框架定义
,若对于一(Yi)切,存在常数0﹤A≤B﹤∞,使得:
则称函数序列为空间的一个框架。B、A分别称为此框架的上、=B时称为紧框架。
(式3-10)
若A=B=1,则为的正交基,则有:
(式3-10)也称为稳定性条件。
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例3-1:设,则对于H中的任意向量(Liang),有:
即:
表明是R2空间的紧框架,但不是正交基,因为:
线性相关。
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2、框架算子
为便于讨论框架,引入框架算子。
:如果为H空间的一个框架,那么(Me)框架算子F定义为H空间向空间的映射,即:
(式3-11)
因为内积运算为线性运算,所以F为线性算子。由框架定义,可知F为有界线性算子,并且有逆算子存在。
记F的伴随算子(共轭算子)为F*。则按伴随算子的定义:,,则有:
(式3-12)
(式3-13)
第七页,共二十四页。
由(You)F的定义可得:
(式3-14)
(式3-10)可写成:
令Id为H到H的单位算子,即:Idf=f,上式可写成:
(式3-15)
F*F为由H到H的有界线性算子,必有逆算子存在,记逆算子为(F*F)-1它必满足:
(式3-16)
因为:
按伴随算子的定义,(F*F)应为自伴随算子,由此可得其逆算子(F*F)-1也为自伴随算子.
证明:
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3、对偶框架
(1)定义(Yi):对于H空间中的一个框架,其算子为F,则定义:
称为的对偶框架(共扼框架)。
(式3-17)
(2)对偶框架算子
、下界为B和A的框架,其框架算子为F,为其对偶框架,则也构成H空间的一个框架,其上、下界分别为A-1和B-1,其框架算子满足:
(式3-18a)
(式3-18b)
(式3-18c)
(式3-18d)
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证(Zheng)明:
由于(F*F)-1是自伴随算子,以上两式相等,有:
(式3-18a)得证。
由内积定义:
(由伴随算子定义)
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