文档介绍：单因素方差分析的计算步骤
假定实验或观察中只有一个因素(因子)A,且A有m个水平,分别记为A1,A2,?Am,在每一种水平下,做n次实验,在每一次试验后可得一实验值,记做xij表示在第j个水平下的第i个试验值?i?1,2,?n;j?1,2,?m?。: 单因素方差分析数据结构表
为了考察因素A对实验结果是否有显著性影响,我们把因素A的m个水平A1,A2,?Am看成是m个正态总体,而xij?i?1,2,?n;j?1,2,?m?看成是取自第j总体的第i个样品,因此,可设xij~Naj,?,i?1,2,?n;j?1,2,?m。
可以认为aj????j,?j是因素A的第j个水平Aj所引起的差异。因此检验因素A的各水平之间是否有显著的差异,就相当于检验: ?2?
H0:a1?a2???am??或者
H0:?1??2????m?0
具体的分析检验步骤是:
(一) 计算水平均值
令xj表示第j种水平的样本均值,
xj=∑xi=1njijnj
式中,xij是第j种水平下的第i个观察值,nj表示第j种水平的观察值次数
(二)计算离差平方和
在单因素方差分析中,离差平方和有三个,它们分别是总离差平方和,组内离差平方和以及组间平方和。
首先,总离差平方和,用SST代表,则,
SST=∑∑(xij-x)2 其中x=∑∑x
nij,它反映了离差平方和的总体情况。
其次,组内离差平方和,用SSE表示,其计算公式为:
?2?SSE=∑?∑(xij-j)?
j?i?
其中j反映的是水平内部或组内观察值的离散状况,即反映了随机因素带来的影响。最后,组间平方和,用SSA表示,SSA的计算公式为:
SSA=∑∑j-x=∑njj-x
用各组均值减去总均值的离差的平方,乘以各组观察值个数,然后加总,即得到SSA。可以看出,它所表现的是组间差异。其中既包括随机因素,也包括系统因素。根据证明,SST,SSE,SSA之间存在着一定的联系,这种联系表现在: )2)2
SST=SSE+SSA
因为:
∑∑(xij-x=∑∑(xij-j)+j-x
2)2[)]2=∑∑(xij-j)+∑∑j-x+2∑∑(xij-j)j-x
在各组同为正态分布,等方差的条件下,等式右边最后一项为零,故有, )2)
∑∑(xij-x)2=∑∑(xij-j)2+∑∑(j-x)2
即 SST=SSE+SSA
(三)计算平均平方
用离差平方和除以各自自由度即可得到平均平方。对SST来说,其自由度为n-1,因为它只有一个约束条件,即∑∑(x
jij-x)=0。对SSA来说,其自由