四年级奥数排列组合.doc

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摆列组合
摆列组合问题是必考题,它联系实质生动风趣,但题型多样,思路灵巧,不易掌握,实践证明,掌握题型和解题方法,鉴别模式,熟练运用,是解决摆列组合应用题的有效门路;下边就谈一谈摆列组合应用题的解题策略.
相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,看作一个大元素参加摆列.
,B,C,D,E五人并排站成一排,假如A,B一定相邻且B在A的右侧,那么不一样
的排法种数有
A、60种B
、48种C
、36种D、24种
分析:把A,B
视为一人,且B
固定在A的右侧,则本题相当于4人的全摆列,A44
24
种,答案:D.
相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无地址要求的几个元素全排
列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
,假如甲乙两个一定不相邻,那么不一样的排法种数是
A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种
分析:除甲乙外,其他5个摆列数为A55种,再用甲乙去插6个空位有A62种,不一样的
排法种数是A55A623600种,选B.
定序问题缩倍法:在摆列问题中限制某几个元素一定保持必定的序次,可用减小倍数的方法.
,B,C,D,E五人并排站成一排,假如
B一定站在A的右侧(A,B可以不相邻)
那么不一样的排法种数是
A、24种
B、60种
C
、90种
D、120种
分析:B在A的右侧与B在A的左侧排法数同样,所以题设的排法不过
5个元素全排
列数的一半,即1
5
种,选
B
.
2
A560
标号排位问题分步法:把元素排到指定地址上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,这样连续下去,挨次即可完成.
,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不同样的填法有
A、6种B、9种C、11种D、23种
分析:先把1填入方格中,吻合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其他三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3×3×1=9种填法,选B.
有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,.(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人担当,乙丙各需一人担当,从10人中选出4人担当这三项任务,不一样的选法种数是
A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种
分析:先从10人中选出2人担当甲项任务,再从剩下的8人中选1人担当乙项任务,
第三步从其他的7人中选1人担当丙项任务,不一样的选法共有C102C81C71
2520种,选C.
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(2)12名同学分别到三个不一样的路口进行流量的检查,若每个路口
4人,则不一样的
分配方案有
A、C124C84C44种
B、3C124C84C44种
C、C124C84A33种D、C124C84C44
种
A33
答案:A.
全员分配问题分组法:
例6.(1)4名优秀学生所有保送到3所学校去,每所学校最少去一名,则不一样的保送方案有多少种?
分析:把四名学生分成3组有C42种方法,再把三组学生分派到三所学校有
A33种,故
共有C42A33
36种方法.
说明:分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配经常用先分组再分配.
(2)5本不一样的书,所有分给
4个学生,每个学生最少一本,不一样的分法种数为
A、480种
B、240种
C、120种D、96种
答案:B.
名额分配问题隔板法:
,每个班级最少一个名额,有多少种不一样分配方案?
分析:10个名额分到7个班级,就是把10个名额看作10个同样的小球分成7堆,每堆最少一个,可以在10个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法对应着一种
分配方案,故共有不一样的分配方案为C9684种.
限制条件的分配问题分类法:
,此中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不一样派遗方案?
分析:由于甲乙有限制条件,所以依据能否含有甲乙来分类,有以下四种状况:
①若甲乙都不参加,则有派遗方案A84种;②若甲参加而乙不参加,先安排甲有3种方
法,而后安排其他学生有A83方法,所以共有3A83;③若乙参加而甲不参加同理也有3A83
种;④若甲乙都参加,则先安排甲乙,有7种方法,而后再安排其他8人到其他两个城市有A82种,
A843A833A837A824088种.
多元问题分类法:元素多,拿出的状况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情
况分别计数,最后总计.
例9.(1)由数字0,1,2,3,4,5构成没有重复数字的六位数,此中个位数字小于十位数字的共有
A、210种B、300种C、464种D、600种
分析:按题意,个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种状况,分别有A55、A41A13A33、
A31A13A33、
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A21A31A33和A31A33个,合并总计
300个,选B.
(2)从1,2,3,100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被
7整除,这
两个数的取法(不计序次)共有多少种?
分析:被取的两个数中最少有一个能被
7整除时,他们的乘积就能被
7整除,将这100
个数构成的会集视为全集I,
能被7整除的数的会集记做A
7,14,21,
98共有14个
元素,不可以被7整除的数构成的会集记做
IA
1,2,3,4,
,100
共有86个元素;由此可
知,从A中任取2个元素的取法有C142
,从
A中任取一个,又从I
A中任取一个共有
C141C861,两种情况共吻合要求的取法有C142
C141C861
1295种.
(3)从1,2,3,,100这100个数中任取两个数,使其和能被
4整除的取法(不
计序次)有多少种?
分析:将I
1,2,3,100
分成四个不订交的子集,能被
4整除的数集
A
4,8,12,
100;能被4
除余1的数集B1,5,9,
97,能被
4除余2的数集
C
2,6,,98,能被4除余3的数集D3,7,11,
99
,易见这四个会集中每一个有
25个元素;从A中任取两个数吻合要;从B,D中各取一个数也吻合要求;从C中任取
两个数也符
合要求;其他其他取法都不吻合要求;所以吻合要求的取法共有
C252
C251C251
C252种.
交织问题会集法:某些摆列组合问题几部分之间有交集,可用会集中求元素个数
公式n(AB)n(A)n(B)n(AB).
×100米接力赛,假如甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不一样的参赛方案?
分析:设全集={6人中任取4人参赛的摆列},A={甲跑第一棒的摆列},B={乙跑第四棒的摆列},依据求会集元素个数的公式得参赛方法共有:
n(I)n(A)n(B)n(AB)A64
A53
A53
A42
252种.
定位问题优先法:某个或几个元素要排在指定地址,可先排这个或几个元素;再排其他的元素。
,若老师不站两端则有不一样的排法有多少种?
分析:老师在中间三个地址上选一个有
A31种,4名同学在其他4个地址上有A44种方法;
所以共有A31A44
72种.
多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归纳为一排考虑,再分段办理.
例12.(1)6个不一样的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不一样的排法种数是
A、36种B、120种C、720种D、1440种
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分析:前后两排可看作一排的两段,所以本题可看作6个不一样的元素排成一排,共
A66720
种,选C.
(2)8个不一样的元素排成前后两排,每排4个元素,此中某2个元素要排在前排,某
个元素排在后排,有多少种不一样排法?
分析:看作一排,某2个元素在前半段四个地址中选排2个,有A42种,某1个元素排
在后半段的四个地址中选一个有
A41种,其他5个元素任排
5个地址上有A55种,故共
有A41A42A55
5760种排法.
“最少”“至多”问题用间接消除法或分类法:,此中最少要甲型和乙型电视机各一台,则不一样的取法共有
A、140种
B、80种
C、70种
D、35种
分析1:逆向思虑,最少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电
视机,故不一样的取法共有C93
C43C53
70
种,
分析2:最少要甲型和乙型电视机各一台可分两种状况:甲型
1台乙型2台;甲型2
台乙型1台;故不一样的取法有C52C41
C51C42
70台,选C.
选排问题先取后排:从几类元素中拿出吻合题意的几个元素,再安排到必定的地址上,可用先取后排法.
例14.(1)四个不一样球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种?
分析:“先取”四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有
C42种,“再排”在四个
盒中每次排3个有A43种,故共有C42A43
144种.
(2)9名乒乓球运动员,此中男5名,女4名,此刻要进行混杂双打训练,有多少种不一样的分组方法?
分析:先取男女运动员各
2名,有C52C42种,这四名运动员混和双打练习有
A22中排法,
故共有C52C42A22
120种.
部分合条件问题消除法:在采用的总数中,只有一部分合条件,可以从总数中减去不吻合条件数,即为所求.
例15.(1)以正方体的极点为极点的四周体共有
A、70种B、64种C、58种D、52种
分析:正方体8个极点从中每次取四点,理论上可构成C84四周体,但6个表面和6
个对角面的四个极点共面都不可以构成四周体,所以四周体实质共有C841258个.
(2)四周体的极点和各棱中点共10点,在此中取4个不共面的点,不一样的取法共有A、150种B、147种C、144种D、141种
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分析:10个点中任取4个点共有C104种,此中四点共面的有三种状况:①在四周体的四个面上,每面内四点共面的状况为C64,四个面共有4C64个;②过空间四边形各边中
点的平行四边形共3个;③.
圆排问题线排法:把n个不一样元素放在圆周n个无编号地址上的摆列,序次(比方按顺时钟)不一样的排法才算不一样的摆列,而序次同样(即旋转一下就可以重合)的排
法以为是同样的,它与一般摆列的差别在于只计序次而首位、末位之分,以下n个一般摆列:
a1,a2,a3,an;a2,a3,a4,,an,;an,a1,,an1在圆摆列中只算一种,由于旋转后可以重
合,故以为同样,n个元素的圆摆列数有n!,其
n
它的n1元素全摆列.
,要求每对姐妹相邻,有多少种不一样站法?
分析:第一可让5位姐姐站成一圈,属圆摆列有A44种,而后在让插入此间,每位均可
插入其姐姐的左侧和右侧,有2种方式,故不一样的安排方式2425768种不一样站法.
1m
说明:从n个不一样元素中拿出m个元素作圆形摆列共有An种不一样排法.
m
可重复的摆列求幂法:同意重复摆列问题的特色是以元素为研究对象,元素不受地址的拘束,可逐个安排元素的地址,一般地n个不一样元素排在m个不一样地址的摆列数
有mn种方法.
?
分析:完成此事共分6步,第一步;将第一名实习生分派到车间有7种不一样方案,第
二步:将第二名实习生分派到车间也有7种不一样方案,挨次类推,由分步计数原理知
共有76种不一样方案.
复杂摆列组合问题构造模型法:
,2,3,9九只路灯,现要关掉此中的三盏,但不可以关掉相邻的二盏或三盏,也不可以关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种?
分析:把此问题看作一个排对模型,在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C53种
方法,所以满足条件的关灯方案有10种.
说明:一些不易理解的摆列组合题,假如能转变成熟习的模型如填空模型,排队模型,装盒模型可使问题简单解决.
:
,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的号码与盒子号码同样,问有多少种不一样的方法?
分析:从5个球中拿出2个与盒子对号有C52种,还剩下3个球与3个盒子序号不可以对
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应,利用列举法分析,假如剩下3,4,5号球与3,4,5号盒子时,3号球不可以装入3号盒子,当3号球装入4号盒子时,4,5号球只有1种装法,3号球装入5号盒子
时,4,5号球也只有1种装法,所以剩下三球只有2种装法,所以总合装法数为2C5220
种.
复杂的摆列组合问题也可用分解与合成法:例20.(1)30030能被多少个不一样偶数整除?
分析:先把30030分解成质因数的形式:30030=2×3×5×7×11×13;依题意偶因数
必取,3,5,7,11,13这5个因数中任取若干个构成成积,所有的偶因数为
C50C51C52C53C54C5532个.
(2)正方体8个极点可连成多少队异面直线?
分析:由于四周体中仅有3对异面直线,可将问题分解成正方体的8个极点可构成多
少个不一样的四周体,从正方体8个极点中任取四个极点构成的四周体有C841258个,
所以8个极点可连成的异面直线有3×58=174对.
利用对应思想转变法:对应思想是教材中浸透的一种重要的解题方法,它可以将复杂的问题转变成简单问题办理.
例21.(1)圆周上有10点,以这些点为端点的弦订交于圆内的交点最多有多少个?分析:由于圆的一个内接四边形的两条对角线订交于圆内一点,一个圆的内接四边形
就对应着两条弦订交于圆内的一个交点,于是问题就转变成圆周上的10个点可以确
定多少个不一样的四边形,明显有C104个,所以圆周上有10点,以这些点为端点的弦相
交于圆内的交点有C104
个.
(2)某城市的街区有
12
个全等的矩形构成,此中实线表示马路,从
A到B的最短路
径有多少种?
B
A
分析:可将图中矩形的一边叫一小段,从A到B最短路线一定走7小段,此中:
向东4段,向北3段;并且前一段的尾接后一段的首,所以只要确立向东走过4段的
走法,便能确立路径,所以不一样走法有C74种.
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