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定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作分解因式。
分解因式与整式乘法互为逆变形。
因式分解的方法:提公因式法、公式法、分组分解法和十字相乘法
注意三原则
分解要完全
最后结果只有小括号
3最后结果中多项式首项系数为正(比方:-3x^2+x=-x(3x-1))
分解因式技巧
。
:
①等式左侧一定是多项式;
②分解因式的结果一定是以乘积的形式表示;
③每个因式一定是整式,且每个因式的次数都一定低于本来多项式的次数;
④分解因式一定分解到每个多项式因式都不可以再分解为止。
注:分解因式前先要找到公因式,在确立公因式前,应从系数和因式两个方面考虑。
基本方法
⑴提公因式法
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
假如一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
详尽方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大合约数;字母取各项的相同的字母,并且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的。
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假如多项式的第一项为哪一项负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时,多项式的各项都要变号。
注意:把2a^2+1/2变为2(a^2+1/4)不叫提公因式
提公因式法基本步骤:
(1)找出公因式;
(2)提公因式并确立另一个因式:
①第一步找公因式可依据确立公因式的方法先确立系数在确立字母;
②第二步提公因式并确立另一个因式,注意要确立另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式;
③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同。
比方:-am+bm+cm=
a(x-y)+b(y-x)=
⑵公式法
假如把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法。
平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b);
完整平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2;
注意:能运用完整平方公式分解因式的多项式一定是三项式,此中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项为哪一项这两个数(或式)的积的2倍。
比方:a2+4ab+4b2=
⑶分组分解法
能分组分解的方程有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式:二二分法,三一分法。
比方:ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)
相同,这道题也可以这样做。
ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)
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几道例题:
5ax+5bx+3ay+3by
x3-x2+x-1
x2-x-y2-y
⑷十字相乘法
这种方法有两种状况。
x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
这种二次三项式的特色是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数
是常数项的两个因数的和。所以,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式
分解:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
②kx2+mx+n型的式子的因式分解
假如有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m时,那么kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d).
所以7x2-19x-6=(7x+2)(x-3).
十字相乘法口诀:首尾分解,交织相乘,乞降凑中
多项式因式分解的一般步骤:
①假如多项式的各项有公因式,那么先提公因式;
②假如各项没有公因式,那么可试试运用公式、十字相乘法来分解;
③假如用上述方法不可以分解,那么可以试试用分组来分解;
④分解因式,一定进行到每一个多项式因式都不可以再分解为止。
也可以用一句话来归纳:“先看有无公因式,再看能否套公式。十字相乘试一试,分组分解要适合。”
因式分解练****题
(1)(mn)(pq)(nm)(pq)
(3)x4
y4
(4)(3m2n)2(mn)2(5)xn13xn2xn1
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(6)
x3
15x2y16xy2
1x3x3
3
14b24aba2
(14)(xy)4(xy)220
222
16)(x2x)2(x2x)1
y3y21y
(7)4
2
(10)3(xy)6(xy)24
(13)126a225a4
(15)(3x22x8)2(x22x8)2