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2021/8/11星期三
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一、复****目标
理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数的单调区间、极值及闭区间上的最值.
会利用导数求最大值和最小值的方法,解决某些简单实际问题.
二、重点解析
(4)用f(x)=0的根将f(x)的定义域分成若干个区间,列表考查各区间上f(x)的符号,进而确定f(x)的单调区间.
注意若f(x)在(a,b),(b,c)单调递增(减),且f(x)在x=b处连续,则f(x)在(a,c)单调递增(减).
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(1)确定函数的定义域;
(2)求导数f(x);
(3)求f(x)=0的根;
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(3)检查上面求出的x的两侧导数的符号,如果左正右负,那么f(x)在该点处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在该点处取极小值.
(1)求导数f(x);
(2)求出f(x)=0或f(x)不存在的所有的点;
(x)在[a,b]上有最大值和最小值,求最值的一般步骤:
,把“问题情景”译为数学语言,找出问题的主要关系,并把问题的主要关系近似化、形式化,抽象成数学问题,再化归为常规问题,选择合适的数学方法求解.
(1)求极值;
(2)把极值和f(a),f(b)相比较,最大的一个为最大值,最小的一个为最小值;
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三、知识要点
(1)(函数单调性的充分条件)设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f(x)>0,则y=f(x)为增函数,如果f(x)<0,则y=f(x)为减函数,
(2)(函数单调性的必要条件)设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f(x)在该区间单调递增(或减),则在该区间内f(x)≥0(或f(x)≤0).
注当f(x)在某个区间内个别点处为零,在其余点处均为正(或负)时,f(x)在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的.
例f(x)=x3在(-1,1)内,f(0)=0,f(x)>0(x0).显然f(x)=x3在(-1,1)上仍旧是增函数.
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极大值与极小值统称为极值.
是函数f(x)的一个极小值,记作:y极小值=f(x0),
如果对x0附近的所有点,都有f(x)>f(x0),就说f(x0)
设函数f(x)在点x0及其附近有定义,如果对x0附近的所有点,都有f(x)<f(x0),
我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作:
y极大值=f(x0);
(x0)是极值的方法
(1)如果在x0附近的左侧f(x)>0,右侧f(x)<0,那么f(x0)是
极大值;
(2)如果在x0附近的左侧f(x)<0,右侧f(x)>0,那么f(x0)是
极小值.
一般地,当函数f(x)在点x0处连续时
(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义域;
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(3)求方程f(x)=0的根;
在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.
但在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值,例如f(x)=x,x(-1,1).
(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:
(1)求f(x)在(a,b)内的极值;
(2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大
值,最小的一个是最小值.
(2)求导数f(x);
(4)检查f(x)在方程f(x)=0的根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.
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典型例题1
已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数,求a的取值范围.
解:由已知,f(x)=3ax2+6x-1.
而3ax2+6x-1<0(xR)
当f(x)<0(xR)时,f(x)是减函数.
由y=x3在R上为增函数知,a=-3时,f(x)(xR)是减函数.
a<-3.
又当a=-3时,
f(x)=-3x3+3x2-x+1
当a>-3时,在R上存在一个区间,其上有f(x)>0,
∴当a>-3时,f(x)不是减函数.
综上所述,a的取值范围是(-∞,-3].
a<0,
△=36+12a<0.
=-3(x-)3+,
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典型例题2
求下列函数的最值:(1)f(x)=x3-3x2+6x-2,x[-1,1].
解:(1)∵f(x)=3x2-6x+6=3(x2-2x+2)
=3[(x-1)2+1]>0恒成立,
(2)y=x3-3x+3,x[-,].
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2
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2
∴f(x)在[-1,1]上单调递增.
∴f(x)min=f(-1)=-12,
f(x)max=f(1)=2.
(2)y=3x2-3.
令y=0,得x=-1或1.
∵-1,1[-,],
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2
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且当x取-,-1,1,时的函数值分别为
3
2
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,5,1,.
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∴当x=1时,ymin=1,
当x=时,ymax=.
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2
8
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典型例题3
已知a为实数,f(x)=(x2-4)(x-a).(1)求导函数f(x);(2)若f(-1)=0,求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值;(3)若f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)上都是递增的,求a的取值范围.
解:(1)由已知f(x)=x3-ax2-4x+4a,
∴f(x)=3x2-2ax-4.
(2)由f(-1)=0得,a=.
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∴f(x)=3x2-x-4.
由f(x)=0得,x=-1或.
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∵f(-2)=0,f(-1)=,f()=-,f(2)=0,
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∴f(x)在[-2,2]上的最大值为,最小值为-.
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2
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50
(3)∵f(x)的图象为开口向上的抛物线且过点(0,-4),
∴由题设得f(-2)≥0且f(2)≥0.
∴8+4a≥0且8-4a≥0.
∴-2≤a≤2.
故a的取值范围是[-2,2].
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典型例题4
又f(x)的图象过点P(0,1),
此时f(x)=ax4+cx2+1,
偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0,1),且在x=1处的切线方程为y=x-2,(1)求y=f(x)的解析式;(2)求y=f(x)的极大(小)值.
∵函数在x=1处的切线方程为y=x-2,切线的斜率为1.
解:(1)∵f(x)是偶函数,∴b=d=0.
∴e=1.
f(x)=4ax3+2cx.
∴1=f(1)=4a+2c.
即4a+2c=1.①
∵切线的切点在曲线上,
∴a+c+1=-1.②
由①,②得:a=,c=-.
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2
9
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∴f(x)=x4-x2+1.
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