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高中数学立体几何知识点总结
一、空间几何体
(一)空间几何体的类型
1多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各
个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,
棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
2旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转
形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。
(二)几种空间几何体的结构特征
1、棱柱的结构特征
:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且
每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体
叫做棱柱。
棱柱的分类
底面是四边形底面是平行四边形
棱柱四棱柱平行六面体
侧棱垂直于底面底面是矩形
直平行六面体长方体
底面是正方形棱长都相等
正四棱柱正方体
性质:
Ⅰ、侧面都是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等;
Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行;
Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等;
1:.
Sch(c是底周长,h是高)
直棱柱侧
S=c·h+2S
直棱柱表面底
V=S·h
棱柱底
2、棱锥的结构特征
(1)棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共
顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
(2)正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶
点在底面的投影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。
Ⅰ、平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比
等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;它们面积
的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比;截得的棱
锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱
锥的高的立方比;
Ⅱ、正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形;
正棱锥侧面积:
P
1
Sch'(c为底周长,h'为斜高)
正棱椎2
DC
1
体积:VSh(S为底面积,h为高)OH
棱椎3
AB
正四面体:
对于棱长为a正四面体的问题可将它补成一个边长为
2
a的正方体问题。
2
2:.
2
对棱间的距离为a(正方体的边长)
2
62
正四面体的高a(l)
33正方体体对角线
21
正四面体的体积为a3(V4VV)
12正方体小三棱锥3正方体
正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为1:3
11
(l:l)
6正方体体对角线2正方体体对角线
3、棱台的结构特征
:用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们
把截面和底面之间的部分称为棱台。
(1)各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形;
(2)正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边
形;
(3)正棱台的对角面也是等腰梯形;
(4)各侧棱的延长线交于一点。
4、圆柱的结构特征
:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余
各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。
(1)上、下底及平行于底面的截面都是等圆;
(2)过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。
:圆柱的侧面展开图是以底面周长和
母线长为邻边的矩形。
S=2π·r·h(r为底面半径,h为圆柱的高)
圆柱侧面
S=2πrh+2πr2
圆柱全
V=Sh=πr2h
圆柱底
5、圆锥的结构特征
3:.
:以直角三角形的一直角边所在的直线为旋
转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆
锥。
(1)平行于底面的截面都是圆,截面直径与底面直径之
比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;
(2)轴截面是等腰三角形;
(3)母线的平方等于底面半径与高的平方和:
l2=r2+h2
:圆锥的侧面展开图是以顶点为圆
心,以母线长为半径的扇形。
6、圆台的结构特征
:用一个平行于底面的平面去截圆锥,我
们把截面和底面之间的部分称为圆台。
⑴圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆;
⑵圆台的截面是等腰梯形;
⑶圆台经常补成圆锥,然后利用相似三角形进行研究。
S=π·(R+r)·l(r、R为上下底面半径)
圆台侧
S=π·r2+π·R2+π·(R+r)·l
圆台全
V=1/3(πr2+πR2+πrR)h(h为圆台的高)
圆台
7球的结构特征
:以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆
旋转一周形成的旋转体叫做球体。空间中,与定点距离等于
定长的点的集合叫做球面,球面所围成的几何体称为球体。
4:.
7-2球的结构特征
⑴球心与截面圆心的连线垂直于截面;
⑵截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差:r2
=R2–d2
★7-3球与其他多面体的组合体的问题
球体与其他多面体组合,包括内接和外切两种类型,解决
此类问题的基本思路是:
⑴根据题意,确定是内接还是外切,画出立体图形;
⑵找出多面体与球体连接的地方,找出对球的合适的切割
面,然后做出剖面图;
⑶将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题;
⑷注意圆与正方体的两个关系:球内接正方体,球直径等
于正方体对角线;
球外切正方体,球直径等于正方体的边长。
7-4球的面积和体积公式
S=4πR2(R为球半径)
球面
V=4/3πR3
球
(三)空间几何体的表面积与体积
空间几何体的表面积
棱柱、棱锥的表面积:各个面面积之和
圆柱的表面积:S2rl2r2
Srlr2
圆锥的表面积:
Srlr2RlR2
圆台的表面积:
球的表面积:S4R2
nR211
扇形的面积公式Slr=r2(其中l表示弧长,r
扇形36022
表示半径,表示弧度)
5:.
空间几何体的体积
柱体的体积:VSh
底
1
锥体的体积:VSh
3底
1
台体的体积:V(SSSS)h
3上上下下
4
VR3
球体的体积:
3
(四)空间几何体的三视图和直观图
正视图:光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图。
侧视图:光线从几何体的左边向右边正投影,得到的投影图。
俯视图:光线从几何体的上面向右边正投影,得到的投影图。
★画三视图的原则:
正俯长相等、正侧高相同、俯侧宽一样
注:球的三视图都是圆;长方体的三视图都是矩形
直观图:斜二测画法
斜二测画法的步骤:
(1)平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;
(2)平行于y轴的线长度变半,平行于x,z轴的线长度
不变;
(3)画法要写好
用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)
画侧棱(4)成图
二、点、直线、平面之间的关系
立体几何网络图:
⑹
⑴⑵⑷
公理4线线平行线面平行面面平行
⑶⑸
⑾
⒀
⑿⒁
⑺
三垂线定理
⑼⒂
线线垂直线面垂直面面垂直
⑽⒃
三垂线逆定理
⑻
1、线线平行的判断:
(1)、平行于同一直线的两直线平行。
6:.
(3)、如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面
和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
(6)、如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们
的交线平行。
(12)、垂直于同一平面的两直线平行。
2、线线垂直的判断:
(7)、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的
射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
(8)、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂
直,那么它和这条斜线的射影垂直。
(10)、若一直线垂直于一平面,这条直线垂直于平面内所
有直线。
补充:一条直线和两条平行直线中的一条垂直,也必垂直平
行线中的另一条。
3、线面平行的判断:
(2)、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那
么这条直线和这个平面平行。
(5)、两个
平面平行,
其中一个平
面内的直线
必平行于另一个平面。
判定定理:
性质定理:
★判断或
证明线面平行的方法
⑴利用定义(反证法):l,则l∥α(用于判断);
7:.
⑵利用判定定理:线线平行线面平行(用于证明);
⑶利用平面的平行:面面平行线面平行(用于证明);
⑷利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)。
2线面斜交和线面角:l∩α=A
(简称线面角):若直线与平面斜
交,则平面的斜线与该斜线在平面***影的夹角θ。
:θ∈[0°,90°]
注意:当直线在平面内或者直线平行于平面时,θ=0°;
当直线垂直于平面时,θ=90°
4、线面垂直的判断:
⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直,这条直线就垂直
于这个平面。
⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也
垂直于这个平面。
⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另
一个平面。
⒃如果两个平面垂直,那么在—个平面内垂直于交线的直线
必垂直于另—
个平面。
判定定理:
性质定理:(1)若直线垂直于平面,则它垂直于平面内任意
一条直线。
即:
(2)垂直于同一平面的两直线平行。
即:
★判断或证明线面垂直的方法
8:.
⑴利用定义,用反证法证明。
⑵利用判定定理证明。
⑶一条直线垂直于平面而平行于另一条直线,则另一条直
线也垂直与平面。
⑷一条直线垂直于两平行平面中的一个,则也垂直于另一
个。
⑸如果两平面垂直,在一平面内有一直线垂直于两平面交
线,则该直线垂直于另一平面。
★
⑴斜线定理:从平面外一点向这个平面所引的所有线段
中,斜线相等则射影相等,斜线越长则射影越长,垂线
段最短。
如图:
⑵三垂线定理及其逆定理图2-7斜线定理
已知PO⊥α,斜线PA在平面α内的射影为OA,a是平
面
α内的一条直线。
①三垂线定理:若a⊥OA,则a⊥PA。即垂直射影则
垂直斜线。
②三垂线定理逆定理:若a⊥PA,则a⊥OA。即垂直
斜线则垂直射影。
⑶三垂线定理及其逆定理的主要应用
图2-8三垂线定理
①证明异面直线垂直;
②作出和证明二面角的平面角;
③作点到线的垂线段。
5、面面平行的判断:
⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面,这两
个平面平行。
⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。
6、面面垂直的判断:
⒂一个平面经过另一个平面的垂线,这两个平面互相垂直。
判定定理:
性质定理:
9:.
⑴若两面垂直,则这两个平面的二面角的平面角为
90°
;
(2)
(3)
图2-10面面垂直性质2
(4)
(二)、其他定理:图2-11面面垂直性质3
(1)确定平面的条件:①不公线的三点;②直线和直线外
一点;③相交直线;
(2)直线与直线的位置关系:相交;平行;异面;
直线与平面的位置关系:在平面内;平行;相交(垂直
是它的特殊情况);
平面与平面的位置关系:相交;;平行;
(3)等角定理:如果两个角的两边分别平行且方向相同,
那么这两个角相等;
如果两条相交直线和另外两条相交直线分别
平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)
相等;
(4)射影定理(斜线长、射影长定理):从平面外一点向这
个平面所引的垂线段和斜线段中,射影相等
的两条斜线段相等;射影较长的斜线段也较
长;反之,斜线段相等的射影相等;斜线段
较长的射影也较长;垂线段比任何一条斜线
段都短。
10:.
(5)最小角定理:斜线与平面内所有直线所成的角中最小
的是与它在平面***影所成的角。
(6)异面直线的判定:
①反证法;
②过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不过该点的
直线是异面直线。
(7)过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直
线垂直平面内。
(8)如果—直线平行于两个相交平面,那么这条直线平行
于两个平面的交线。
(三)、唯一性定理:
(1)过已知点,有且只能作一直线和已知平面垂直。
(2)过已知平面外一点,有且只能作一平面和已知平面平
行。
(3)过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条
平行。
四、空间角的求法:(所有角的问题最后都要转化为解三角
形的问题,尤其是直角三角形)
(1)异面直线所成的角:通过直线的平移,把异面直线所成
的角转化为平面内相交直线所成的角。异面直线所成角的范
围:0o90o;
(2)线面所成的角:①线面平行或直线在平面内:线面所成
的角为0o;②线面垂直:线面所成的角为90o;
③斜线与平面所成的角:范围0o90o;即也就是斜线
与它在平面内的射影所成的角。
线面所成的角范围0o90o
(3)二面角:关键是找出二面角的平面角。方法有:①定
11:.
义法;②三垂线定理法;③垂面法;
二面角的平面角的范围:0o180o;
五、距离的求法:
(1)点点、点线、点面距离:点与点之间的距离就是两点
之间线段的长、点与线、面间的距离是点到线、面垂足间线
段的长。求它们首先要找到表示距离的线段,然后再计算。
注意:求点到面的距离的方法:
①直接法:直接确定点到平面的垂线段长(垂线段一般在二
面角所在的平面上);
②转移法:转化为另一点到该平面的距离(利用线面平行的
性质);
③体积法:利用三棱锥体积公式。
(2)线线距离:关于异面直线的距离,常用方法有:
①定义法,关键是确定出a,b的公垂线段;
②转化为线面距离,即转化为a与过b而平行于a的平面之
间的距离,关键是找出或构造出这个平面;③转化为面面距
离;
(3)线面、面面距离:线面间距离面面间距离与线线间、
点线间距离常常相互转化;
六、常用的结论:
(1)若直线l在平面内的射影是直线l,直线m是平面
内经过l的斜足的一条直线,l与l所成的角为,l与m所
1
成的角为,l与m所成的角为,则这三个角之间的关系
2
是coscoscos;
12
(2)如何确定点在平面的射影位置:
①Ⅰ、如果一个角所在平面外一点到角两边距离相等,那
么这点在平面上的射影在这个角的平分线上;
Ⅱ、经过一个角的顶角引这个角所在平面的斜线,如果
斜线和这个角的两边夹角相等,那么斜线上的点在
平面上的射影在这个角的平分线所在的直线上;
12:.
Ⅲ、如果平面外一点到平面上两点的距离相等,则这一
点在平面上的射影在以这两点为端点的线段的垂
直平分线上。
②垂线法:如果过平面外一点的斜线与平面内的一条直
线垂直,那么这一点在这平面上的射影在过
斜足且垂直于平面内直线的直线上(三垂线
定理和逆定理);
③垂面法:如果两平面互相垂直,那么一个平面内任一
点在另一平面上的射影在这两面的交线上
(面面垂直的性质定理);
④整体法:确定点在平面的射影,可先确定过一点的斜
线这一整体在平面内的射影。
(3)在四面体ABCD中:
①若ABCD,BCAD,则ACBD;且A在平面
BCD上的射影是BCD的垂心。
②若ABACAD,则A在平面BCD上的射影是
BCD的外心。
③若A到BC,CD,BD边的距离相等,则A在平面BCD
上的射影是BCD的内心。
(4)异面直线上两点间的距离公式:若异面直线所成的
Ea
角为,它们公垂线段的长为,在上A’
AA'da,b
分别取一点E,F,设A'Em,AFn;E’
A
b
F
则EFd2m2n22mncos
(如果E'AF为锐角,公式中取负号,如果
E'AF为钝,公式中取正号)
13