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多边形及其内角和知识点
多边形及其内角和知识点
多边形及其内角和
一、知识点总结
定义:由三条或三条以上的线段首位按序连结所构成的关闭图形叫做多边形。
凸多边形
分类1:
凹多边形
正多边形:各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。
分类2:
多边形 非正多边形:
多边形的定理
1、n边形的内角和等于 180°〔n-2〕。
2、随意凸形多边形的外角和等于 360°。
3、n边形的对角线条数等于 1/2·n〔n-3〕
多边形及其内角和知识点
多边形及其内角和知识点
多边形及其内角和知识点
只用一种正多边形:
3、4、6/。
多边形及其内角和知识点
多边形及其内角和知识点
多边形及其内角和知识点
镶嵌
拼成
360度的角
多边形及其内角和知识点
多边形及其内角和知识点
多边形及其内角和知识点
只用一种非正多边形〔全等〕 :3、4。
知识点一:多边形及有关观点
1、多边形的定义: 在平面内,由一些线段首尾按序相接构成的图形叫做多边形 .
多边形及其内角和知识点
多边形及其内角和知识点
多边形及其内角和知识点
〔1〕多边形的一些因素:
边:构成多边形的各条线段叫做多边形的边.
极点:每相邻两条边的公共端点叫做多边形的极点.
内角:多边形相邻两边构成的角叫多边形的内角,一个 n边形有n个内角。
外角:多边形的边与它的邻边的延伸线构成的角叫做多边形的外角。
〔2〕在定义中应注意:
①一些线段〔多边形的边数是大于等于 3的正整数〕;
②首尾按序相连,两者缺一不行 ;
③理解时要特别注意“在同一平面内〞这个条件 ,其目的是为了清除几个点不共面的状况
多边形.
2、多边形的分类 :
,即空间
多边形及其内角和知识点
多边形及其内角和知识点
多边形及其内角和知识点
(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形,画出多边形的任何一条边所在的直线,假如整个多边形都在这
条直线的同一侧,那么此多边形为凸多边形,反之为凹多边形〔见图1〕.本章所讲的多边形都是指凸多边形.
凸多边形 凹多边形
图1
(2)多边形往常还以边数命名,、四边形都属于多边形,此中三角形是边数最少的多边形.
多边形及其内角和知识点
多边形及其内角和知识点
多边形及其内角和知识点
知识点二:正多边形
各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。
多边形及其内角和知识点
多边形及其内角和知识点
多边形及其内角和知识点
正三角形 正方形 正五边形
重点解说:
各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件,
正六边形
两者缺一不行 .
正十二边形
如四条边都相等的四边形不必定是正方形,
多边形及其内角和知识点
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多边形及其内角和知识点
四个角都相等的四边形也不必定是正方形,只有知足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形 知识
点三:多边形的对角线
多边形及其内角和知识点
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多边形及其内角和知识点
多边形的对角线 :连结多边形不相邻的两个极点的线段,
叫做多边形的对角线
.
如图
2,BD为四边形
ABCD
多边形及其内角和知识点
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多边形及其内角和知识点
的一条对角线。
多边形及其内角和知识点
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重点解说:
(1)从n边形一个极点能够引 (n-3)条对角线,将多边形分红 (n-2)个三角形。
多边形及其内角和知识点
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(2)n边形共有
条对角线。
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多边形及其内角和知识点
证明:过一个极点有
n-3条对角线
(n≥3的正整数
),又∵共有
n个极点,∴共有
n(n-3)
多边形及其内角和知识点
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条对角线,但过两个不相邻极点的对角线重复了一次,∴凸
n边形,共有
条对角线。
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多边形及其内角和知识点
知识点四:多边形的内角和公式
多边形及其内角和知识点
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多边形及其内角和知识点
:
边形的内角和为
.
多边形及其内角和知识点
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多边形及其内角和知识点
:
证法1:在 边形内任取一点,并把这点与各个极点连结起来,共构成
个三角形,这
个三角形的内角
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和为
,再减去一个周角,即获得
边形的内角和为
.
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证法
2:从
边形一个极点作对角线,能够作
条对角线,而且
边形被分红
个三角形,这
多边形及其内角和知识点
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多边形及其内角和知识点
个三角形内角和恰巧是
边形的内角和,等于
.
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证法
3:在
边形的一边上取一点与各个极点相连,
得
个三角形,
边形内角和等于这
个三
多边形及其内角和知识点
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多边形及其内角和知识点
角形的内角和减去所取的一点处的一个平角的度数,即 .
重点解说:
(1)注意:以上各推导方法表达出将多边形问题转变为三角形问题来解决的根基思想。
(2)内角和定理的应用:
①多边形的边数,求其内角和; ②多边形内角和,求其边数。
知识点五:多边形的外角和公式
1.
公式:多边形的外角和等于
360°.
2.
多边形外角和公式的证明:
多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角,
因此边形的内角和加外
角和为
,外角和等于
.注意:n边形的外角和恒等于360°,它与边数的多
少没关。
多边形及其内角和知识点
多边形及其内角和知识点
多边形及其内角和知识点
重点解说:
(1)外角和公式的应用:
①外角度数,求正多边形边数; ②正多边形边数,求外角度数 .
(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系:
①n边形的内角和等于 (n-2)·180°(n≥3,n是正整数),可见多边形内角和与边数 n有关,每增添
1条边,内角和增添 180°。
②多边形的外角和等于 360°,与边数的多少没关。
知识点六:镶嵌的观点和特色
1、定义:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一局部完整覆盖,往常把这种问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。这里的多边形能够形状同样,也能够形状不同样。
2、实现镶嵌的条件: 拼接在同一点的各个角的和恰巧等于 360°;相邻的多边形有公共边。
多边形及其内角和知识点
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3、常有的一些正多边形的镶嵌问题:
(1)用正多边形实现镶嵌的条件:边长相等;极点公用;在一个极点处各正多边形的内角之和为
360°。
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(2)只用一种正多边形镶嵌地面
关于给定的某种正多边形, 如何判断它可否拼成一个平面图形, 且不留一点缝隙解决问题的重点在于正多
边形的内角特色。 当环绕一点拼在一同的几个正多边形的内角加在一同恰巧构成一个周角 360°时,就能铺成
一个平面图形。
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事实上,正 n边形的每一个内角为 ,要求k个正n边形各有一个内角拼于一点,恰巧覆盖地面,
这样360°= ,由此导出 k= =2+ ,而k是正整数,因此 n只好取3,4,6。因此,
用同样的正多边形地砖铺地面,只有正三角形、正方形、正六边形的地砖能够用。
注意:随意四边形的内角和都等于360°。因此用一批形状、大小完整同样但不规那么的四边形地砖也能够铺成无缝隙的地板,用随意同样的三角形也能够铺满地面。
(3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面
用两种或两种以上面长相等的正多边形组合成平面图形,重点是有关正多边形“交接处各角之和可否拼成一个周角〞的问题。比如,用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与
正八边形都能够作平面镶嵌,见以下列图:
又如,用一个正三角形、两个正方形、一个
正六边形联合在一同恰巧能够铺满地面,由于它
们的交接处各角之和恰巧为一个周角 360°。
规律方法指导
:边数增添,内角和
增添;边数减少,内角和减少 .每增添一条边,
内角的和
就增添180°〔反过来也建立〕,且多边
形的内角和一定是 180°的整数倍.
360°,与边数的多
少没关.
,最少没有锐角〔如矩形〕 ;多边形的外角中最多有三个钝角,最少
没有钝角.
,常与方程思想相联合,运用方程思想是解决本节
问题的常用方法 .
,往常转变为与三角形有关的角来解决 .三角形是一种根本图形,是
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多边形及其内角和知识点
多边形及其内角和知识点
研究复形的基,同注意化思想在数学中的用 .
二、经典例题透析
种类一:多边形内角和及外角和定理应用
多边形及其内角和知识点
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5倍,它是几形?
升:本是多形的内角和定理和外角和定理的合运用 .只需出数
于 的方程,求出 的即可,是一种常用的解思路 .
一反三:
【式1】假定一个多形的内角和与外角和的度数 1800°,求个多形的数 .
,依据条件列出关
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【式
2】一个多形除了一个内角外,其他各内角和
2750°,求个多形的内角和是少
.
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【式
3】一个多形的内角和与某一个外角的度数和
1350°,求个多形的数。
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种类二:多边形对角线公式的运用
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【式1】一个多形共有 20条角,多形的数是〔
〕.
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【式2】一个十二形有几条角。
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升:于一个
n形的角的条数,我能够出律
条,牢个公式,此后只需
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用相的
n的代入即可求出角的条数,要住个公式只有在理解的基之上才能得牢。
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种类三:可转变为多边形内角和问题
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【式
1】如所示,∠
1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________.
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【式
2】如所示,求∠
A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。
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种类四:实质应用题
,一小汽从P市出,先到B市,再到C市,再到A市,最后返回P市,小汽共了多少度角?
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【式1】如所示,小亮从 A点出前
10m,向右
15°,再前
10m,又向右
15°,⋯,
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向来走下去,当他第一次回到出点,一共走了
__________m.
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【式2】小从点A出向前走10米,向右36°,而后向前走10米,再向右方法走下去,他能回到点A假定能,当他走回点A共走了多少米假定不可以,写出原因。
36°,他以同的
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【变式3】以下列图是某厂生产的一块模板,该模板的边 AB∥CF,CD∥AE.
成80°角,因交点不在模板上,不便丈量 .这时师傅告诉徒弟只需测一个角,便知道
能否切合规定,你知道需测哪一个角吗说明原因 .
按规定AB、CD的延伸线订交
AB、CD的延伸线的夹角
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种类五:镶嵌问题
。
(1)正方形和正八边形;
(2)正三角形和正十二边形;
(3)正三角形、正方形和正六边形。
思路点拨:只需在拼接处各多边形的内角的和能构成一个周角,那么这些多边形就能作平面镶嵌。
分析:正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边形的每一个内角分别是 60°、90°、120°、
135°、150°。
(1)由于90+2×135=360,因此一个极点处有 1个正方形、2个正八边形,如图 (1)所示。
(2)由于60+2×150=360,因此一个极点处有 1个正三角形、 2个正十二边形,如图 (2)所示。
(3)由于60+2×90+120=360,因此一个极点处有 1个正三角形、 1个正六边形和 2个正方形,如图 (3)
所示。
总结升华:用两种以上面长相等的正
多边形组合成平面图形,实质上是有关正
多边形“交接处各角之和可否拼成一个周
角〞的问题。贯通融会:
【变式 1】分别用形状、大小完整相
同的①三角形木板;②四边形木板;③正
五边形木板;④正六边形木板作平面镶嵌,
此中不可以镶嵌成地板的是 ( ) A、① B、② C、③ D、④
【变式2】用三块正多边形的木板铺地,拼在一同并订交于一点的各边完整符合,此中两块木板的边数都
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是
8,那么第三块木板的边数应是
()
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A、4 B、5
C、6
D、8
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三、综合练****br/>一、选择题:
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720°,那么这个多边形是 ( )
3倍少180°,这个多边形的边数是
(
)
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60°,那么n的值是( )
,不可以成为多边形内角和的是 ( ) ° ° ° °
1800°,那么此多边形是 ( )
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:① 多边形的外角和小于内角和 ,②三角形的内角和等于外角和
形全部外角之和 ,④四边形的内角和等于它的外角和 .此中正确的有 (
,③多边形的外角和是指这个多边
)
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个 个 个 个
2条,那么它的内角和增添 ( )
° ° ° °
7条对角线,那么此多边形的内角和是外角和的
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(
)
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倍
倍
倍
倍
ABCD中,A、
B、
C、
D的度数之比为2∶3∶4∶3,那么
D的外角等于(
)
°
°
°
°
,
一个内角是与它相邻的一个外角的
3
倍,那么这个多边形的边数是(
)
,AB∥CD∥EF,那么以下各式中正确的选项是
(
)
A.∠1+∠2+∠3=180°
B.∠1+∠2-∠3=90°
C.∠1-∠2+∠3=90°
D.∠2+∠3-∠1=180°
:①
A
B
C
②
A:B:C
1:2:3
③
A90
B
④A
B
C中,能确立
ABC是直角三角形的条件有(
)
A.①②
B.③④
C.①③④
D.①②③
二、填空题
______度.
,那么它的边数是______.
_______度.
_____条.
°的多边形的边数是________.
36°,那么这个多边形的内角和是
°.
4倍,那么这个多边形是
边形.
,AD∥BC,假定∠B=
1∠D,那么∠A的外角是
°.
9题图
3
△ABC中,D是∠ACB与∠ABC的角均分线的交点,
BD的延伸线交AC于E,
且∠EDC=50°,那么∠A的度数为
.
,在六边形
ABCDEF中,AF∥CD,AB∥DE,且∠A=120°,∠B=80°,
那么∠C的度数是
,∠D的度数是
.
10题图
三、计算题
45°,求这个多边形的内角和.
144°,求它的边数 .
,此外三个角的度数之比为 2∶3∶4,那么这三个内角的度数分别是多少
36°,求这个正多边形的边数 .
多边形的内角和等于1440°,求(1)这个多边形的边数,(2)过一个极点有几条对角线,(3)总对角线条数.
2
,求这个多边形的边数;
7
2
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,它的外角等于内角的 ,求这个多边形的边数;
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3
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2340°,假定每一个内角都相等,求每个外角的度数 .
ABCD中,∠A:∠B=7:5,∠A-∠C=∠B,∠C=∠D-40°,求各内角的度数 .
,除一个内角外,其他各内角之和等于 1000°,求这个内角及多边形的边数 .
,一个六边形的六个内角都是 120°,AB=1,BC=CD=3,DE=2,求该六边形的周长 .
A F
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多边形及其内角和知识点
B
E
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四、拓展练****br/>多边形及其内角和知识点
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:〔1〕如图①
1
2与
B
C有什么关系为何
C
D
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〔2〕把图①
ABC沿
DE折叠,获得图②,填空:∠1+∠2_______
B
C
(填“〞“〞“〞),当
A
40
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时,
B
C+
1
2=______.
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〔3〕如图③,是由图①的
ABC沿
DE折叠获得的,假如
A 30
,
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那么x
y 360
〔
B
C+
1
2〕
360
=
,
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进而猜想
x
y与
A的关系为
.
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图①
图②
图③
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、图2、图3中,点E、D分别是正
点的一边延伸线和另一边反向延伸线上的点,且
ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN
ABE与 BCD能相互重合, BD延伸线交
中以C点为顶
AE于点F.
多边形及其内角和知识点
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〔1〕求图
1中,
AFB的度数;
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〔2〕图
2中,
AFB的度数为
_______,图
3中,
AFB的度数为
_______;
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多边形及其内角和知识点
图1
图2
图3
3.〔1〕如图1,有一块直角三角板XYZ搁置在△ABC上,恰巧三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C.△ABC中,∠A=30°,那么∠ABC+∠ACB=________,∠XBC+∠XCB=_______.
多边形及其内角和知识点
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〔2〕如图2,改变直角三角板 XYZ的地点,使三角板 XYZ的两条直角边 XY、XZ仍旧分别经过 B、C,那么
∠ABX+∠ACX的大小能否变化假定变化,请举例说明;假定不变化,恳求出 ∠ABX+∠ACX的大小.
多边形及其内角和知识点
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,
A、B两点同时从原点
O出发,点
A以每秒
x个单位长度沿
x轴的负方向运动,点
B以每秒
y个单
多边形及其内角和知识点
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多边形及其内角和知识点
位长度沿 y轴的正方向运动.
多边形及其内角和知识点
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〔1〕假定|x+2y﹣5|+|2x﹣y|=0,试分别求出
1秒钟后
A、B两点的坐标;
多边形及其内角和知识点
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〔2〕设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的均分线订交于点 P,
问:点A、B在运动的过程中, ∠P的大小能否会发生变化假定不发生变化,恳求出其值;假定发生变化,请说明
原因;
多边形及其内角和知识点
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〔3〕如图,延伸BA至E,在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C,假定∠EAC、∠FCA、∠ABC的均分线订交于点G,过点G作BE的垂线,垂足为H,试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何请写出你的结论并说明原因.
多边形及其内角和知识点
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