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研究多于一个的目标函数在给定区域上的最优化。又称多目标最优化。通常记为 
MOP(multi-objectiveprogramming)。
在很多实际问题中,例如经济、管理、军事、科学和工程设计等领域,衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来判断,而需要用多个目标来比较,而这些目标有时不甚协调,甚至是矛盾的。因此有许多学者致力于这方面的研究。
1896年法国经济学家 V. 帕雷托最早研究不可比较目标的优化问题,之后,·诺伊曼、、、,但是尚未有一个完全令人满意的定义。
多目标规划方法
求解多目标标规划的方方法大体上上有以下几几种:
一种是化多为少的的方法, 即把多多目标化为为比较容易易求解的单单目标或双双目标,如如主要目标标法、线性性加权法、、理想点法法等;
另一种叫分层序列法法,即把目标标按其重要要性给出一一个序列,,每次都在在前一目标标最优解集集内求下一一个目标最最优解,直直到求出共共同的最优优解。
对多目标的的线性规划划除以上方方法外还可可以适当修正单纯形形法来求解;还还有一种称称为层次分析法法,是由美国国运筹学家家沙旦于70年代提提出的,这这是一种定定性与定量量相结合的的多目标决决策与分析析方法,对对于目标结结构复杂且且缺乏必要要的数据的的情况更为为实用。
多目标规划划模型
(一)任何何多目标规规划问题,,都由两个个基本部分分组成:
(1)两个个以上的目目标函数;;
(2)若干干个约束条条件。
(二)对于于多目标规规划问题,,可以将其其数学模型型一般地描描写为如下下形式:
一多目目标规划及及其非劣解解
式中:为决策变量向量。
缩写形式::
有n个决策变量量,k个目标函数数,m个约束方程程,
则:
Z=F(X)是是k维函数向量量,
(X
G是m维常数向量;
(1)
(2)
对于线性多目标规划划问题,可以进一一步用矩阵表示示:
式中:
X为n维决策变量向量量;
C为k×n矩阵,即目标函函数系数矩阵;;
A为m×n矩阵,即约束方方程系数矩阵;;
b为m维的向量,即约约束向量。
多目标规划的非非劣解
多目标规划问题题的求解不能只只追求一个目标标的最优化(最最大或最小),,而不顾其它目目标。
对于上述多目标标规划问题,求
▲每一个目标函数取什么值,原问题可以得到最满意的解决?
▲每一个决策变量取什么值,原问题可以得到最满意的解决?
在图1中,max(f1,f2).就方案①①和②来说,①①的f2目标值比②大,,但其目标值f1比②小,因此无无法确定这两个个方案的优与劣劣。
在各个方案之间间,显然:④比①好,⑤比比④好,⑥比比②好,⑦比③好……。。
非劣解可以用图1说明。
图1多目标规规划的劣解与非非劣解
而对于方案⑤、、⑥、⑦之间则则无法确定优劣劣,而且又没有有比它们更好的的其他方案,所所以它们就被称称为多目标规划划问题的非劣解或有效解,
其余方案都称为为劣解。
所有非劣解构成成的集合称为非劣解集。
当目标函数处于于冲突状态时,,就不会存在使使所有目标函数数同时达到最大大或最小值的最最优解,于是我我们只能寻求非非劣解(又称非支配解或帕累累托解)。
效用最优化模型型
理想点模型
约束模型
目标达到法
目标规划模型
二多目标规划划求解
为了求得多目标标规划问题的非非劣解,常常需需要将多目标规划问题题转化为单目标标规划问题去处理。实现这这种转化,有如如下几种建模方方法。
是与各目标函数数相关的效用函数的和函数。
方法一效效用最优化模型(线性加权法)
(1)
(2)
思想:规划问题的各各个目标函数可可以通过一定的方式进行求和运算。这种方法法将一系列的目标函数与效用函数建立相关关系,,各目标之间通通过效用函数协协调,使多目标标规划问题转化化为传统的单目目标规划问题::