曲线运动经典例题.pdf

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1、关于曲线运动,下列说法中正确的是(AC)


【解析】曲线运动的速度方向沿曲线的切线方向,一定是变化的,所以曲线运动一定是变速运动。
变速运动可能是速度的方向不变而大小变化,则可能是直线运动。当物体受到的合力是大小、方向
不变的恒力时,物体做匀变速运动,但力的方向可能与速度方向不在一条直线上,这时物体做匀变
速曲线运动。做变加速运动的物体受到的合力可能大小不变,但方向始终与速度方向在一条直线上,
这时物体做变速直线运动。
2、质点在三个恒力F、F、F的共同作用下保持平衡状态,若突然撤去F,而保持F、F不变,
123123
则质点(A)


【解析】质点在恒力作用下产生恒定的加速度,加速度恒定的运动一定是匀变速运动。由题意可知,
当突然撤去F而保持F、F不变时,质点受到的合力大小为F,方向与F相反,故一定做匀变
12311
速运动。在撤去F之前,质点保持平衡,有两种可能:一是质点处于静止状态,则撤去F后,它
11
一定做匀变速直线运动;其二是质点处于匀速直线运动状态,则撤去F后,质点可能做直线运动
1
(条件是F的方向和速度方向在一条直线上),也可能做曲线运动(条件是F的方向和速度方向
11
不在一条直线上)。
3、关于运动的合成,下列说法中正确的是(C)




【解析】根据速度合成的平行四边形定则可知,合速度的大小是在两分速度的和与两分速度的差之
间,故合速度不一定比分速度大。两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动。两个匀变速直
线运动的合运动是否是匀变速直线运动,决定于两初速度的合速度方向是否与合加速度方向在一直
线上。如在一直线上,果合运动是匀变速直线运动;反之,是匀变速曲线运动。根据运动的同时性,
合运动的两个分运动是同时的。
4、质量m=,其分速度v和v随时间变化的图线如图所示,求:
xy
(1)物体所受的合力。
(2)物体的初速度。
(3)判断物体运动的性质。
(4)4s末物体的速度和位移。
【解析】根据分速度v和v随时间变化的图线可知,物体在x
xy
轴上的分运动是匀加速直线运动,在y轴上的分运动是匀速直线
运动。从两图线中求出物体的加速度与速度的分量,然后再合成。
(1)由图象可知,物体在x轴上分运动的加速度大小a=1m/s2,在y轴上分运动的加速度为0,
x
故物体的合加速度大小为a=1m/s2,方向沿x轴的正方向。则物体所受的合力F=ma=×1N=,
方向沿x轴的正方向。
(2)由图象知,可得两分运动的初速度大小为v=0,v=4m/s,故物体的初速度
x0y0
vv2v2042m/s=4m/s,方向沿y轴正方向。
0x0y0
(3)根据(1)和(2)可知,物体有y正方向的初速度,有x正方向的合力,则物体做匀变速
曲线运动。
(4)4s末x和y方向的分速度是v=at=4m/s,v=4m/s,故物体的速度为
xy
v=v2v2424242m/s,方向与x正向夹角θ,有tanθ=v/v=1。
yx
xy
x和y方向的分位移是x=at2/2=8m,y=vt=16m,则物体的位移为
y
s=x2y285m,方向与x正向的夹角φ,有tanφ=y/x=2。
5、已知某船在静水中的速率为v=4m/s,现让船渡过某条河,假设这条河的两岸是理想的平行线,
1
河宽为d=100m,河水的流动速度为v=3m/s,方向与河岸平行。试分析:
2
⑴欲使船以最短时间渡过河去,航向怎样?最短时间是多少?到达对岸的位置怎样?船发生的
位移是多大?
⑵欲使船渡河过程中的航行距离最短,船的航向又应怎样?渡河所用时间是多少?
【解析】⑴根据运动的独立性和等时性,当船在垂直河岸方向上的分速度
v最大时,渡河所用时间最短,设船头指向上游且与上游河岸夹角为α,其
⊥v
1v
合速度v与分运动速度v、v的矢量关系如图1所示。河水流速v平行于
122
河岸,不影渡河响快慢,船在垂直河岸方向上的分速度v=vsinα,则船渡α
⊥1v
2
d图1
河所用时间为t=。
vsin
1
显然,当sinα=1即α=90°时,v最大,t最小,此时船身垂直于河岸,船头始终指向正对
⊥
岸,但船实际的航向斜向下游,如图2所示。
A
d100
渡河的最短时间t==s=25s。vv
minv41
1
v
2
船的位移为s=vt=v2v2t=4232×25m=125m。图2
12min
船渡过河时已在正对岸的下游A处,其顺水漂流的位移为
vd3×100
x=vt=2=m=75m。
2minv4
1
⑵由于v>v,故船的合速度与河岸垂直时,船的渡河距离最短。设此时船速v的方向(船头
121
的指向)斜向上游,且与河岸成θ角,如图6-34所示,则
v
v31v
cos=2=,=41°24。合
θ4θ′
vθ
1v
2
图6-34
船的实际速度为v=v2v2=42-32m/s=7m/s。
合12
d1001007
故渡河时间t′==s=s≈38s。
v7
合7
6、如图所示为频闪摄影方法拍摄的研究物体做平抛运动规律的照片,图中A、B、C为三个同时由
同一点出发的小球。AA′为A球在光滑水平面上以速度v运动的轨迹;
BAA′
BB′为B球以速度v被水平抛出后的运动轨迹;CC′为C球自由下落C
的运动轨迹。通过分析上述三条轨迹可得出结论:
。
【解析】观察照片,B、C两球在任一曝光瞬间的位置总在同一水平线
上,说明平抛运动物体B在竖直方向上的运动特点与自由落体运动相
同;而A、B两小球在任一曝光瞬间的位置总在同一竖直线上,说明平
抛运动物体B在水平方向上的运动特点与匀速直线运动相同。所以,得
到的结论是:做平抛运动的物体在水平方向做匀速直线运动,在竖直方C′B′
向做自由落体运动。
7、在研究平抛运动的实验中,用一张印有小方格的纸记录轨迹,小方格的边长L=,若小
球在平抛运动途中的几个位置如图中a、b、c、d所示,则小球平抛的初速度为v=(用
0
L、g表示),其值是。()
【解析】由水平方向上ab=bc=cd可知,相邻两点的时间间隔相等,设为a
T,竖直方向相邻两点间距之差相等,Δy=L,则由Δx=aT2,得b
Lc
T=。时间T,水平方向位内移为x=2L,所以
g
d
v=x=2Lg2=。
0
t
8、飞机在2km的高空以360km/h的速度沿水平航线匀速飞行,飞机在地面上观察者的正上方空投
一包裹。(g取10m/s2,不计空气阻力)
⑴试比较飞行员和地面观察者所见的包裹的运动轨迹。
⑵包裹落地处离地面观察者多远?离飞机的水平距离多大?
⑶求包裹着地时的速度大小和方向。
提示不同的观察者所用的参照物不同,对同一物体的运动的描述一般是不同的。
【解析】⑴从飞机上投下去的包裹由于惯性,在水平方向上仍以360km/h的速度沿原来的方向飞
行,与飞机运动情况相同。在竖直方向上同时进行自由落体运动,所以飞机上的飞行员只是看到包
裹在飞机的正下方下落,包裹的轨迹是竖直直线;地面上的观察者是以地面为参照物的,他看见包
裹做平抛运动,包裹的轨迹为抛物线。
2h22000360
⑵抛体在空中的时间t=s=20s。在水平方向的位移x=vt=20m=

2000m,即包裹落地位置距观察者的水平距离为2000m。
包裹在水平方向与飞机的运动情况完全相同,所以,落地时包裹与飞机的水平距离为零。
⑶包裹着地时,对地面速度可分解为水平方向和竖直方向的两个分速度,
v=v=100m/s,v=gt=10×20m/s=200m/s,
x0y
故包裹着地速度的大小为
v=v2v210022002m/s=1005m/s≈224m/s。
txy
v200
而tanθ=y==2,故着地速度与水平方向的夹角为θ=arctan2。
v100
x
9、如图,高h的车厢在平直轨道上匀减速向右行驶,加速度大小为a,车厢顶部A点处有油滴滴
下落到车厢地板上,车厢地板上的O点位于A点的正下方,则油滴的落地点必在O点的(填
“左”或“右”)方,离O点的距离为。
【解析】因为油滴自车厢顶部A点脱落后,由于惯性在水平方向具有与车厢相同的初速度,因此油
滴做平抛运动,水平方向做匀速直线运动x=vt,
1AA
1
竖直方向做自由落体运动h=gt2,
2
OO
又因为车厢在水平方向做匀减速直线运动,所以车厢(O点)xx
2
x
11
的位移为x=vt-at2。
22
112ha
如图所示x=x-xat2ah,
1222gg
a
所以油滴落地点必在O点的右方,离O点的距离为h。
g
10、如图所示,两个相对斜面的倾角分别为37°和53°,在斜面顶点把两个小球以同样大小的初速
度分别向左、向右水平抛出,小球都落在斜面上。若不计空气阻力,则A、B两个小球的运动时间
之比为(D)
::::16
【解析】由平抛运动的位移规律可知:
1
xvtygt2
02
ttan379
A
tany/xt2vtan/gttan5316
∵∴0∴B
11、如图在倾角为θ的斜面顶端A处以速度V水平抛出一小球,落在斜面上的某一点B处,设空
0
气阻力不计,求(1)小球从A运动到B处所需的时间;(2)从抛出开计时,始经过多长时间小球
离斜面的距离达到最大?
【解析】(1)小球做平抛运动,同时受到斜面体的限制,设从小球从A运动到B处所需的时间为t,
水平位移为x=Vt
0
1
竖直位移为y=gt2
2
12Vtan
由数学关系得:gt2(Vt)tan,t0
20g
(2)从抛出开计时,始经过t时间小球离斜面的距离达到最大,当小球的速度与斜面平行时,
1
Vtan
小球离斜面的距离达到最大。因V=gt=Vtanθ,所以t0。
y1101g
12、如图所示,两个小球固定在一根长为l的杆的两端,绕杆上的O点做圆周运动。当小球A的速
度为v时,小球B的速度为v,则轴心O到小球A的距离是(B)
AB
vl(vv)l(vv)l
(vv)
AABvvvv
ABAB
【解析】设轴心O到小球A的距离为x,因两小球固定在同一转动杆的两端,故两小球做圆周运动
v
的角速度相同,半径分别为x、l-x。根据有v
rB
AO
vvvlB
AB,解得xA,v
xlxvvA
AB
13、如图所示的皮带传动装置中,右边两轮固定在一起同轴转动,图中A、B、C三轮的半径关系
为r=r=2r,设皮带不打滑,则三轮边缘上的一点线速度之比v∶v∶v=,角速
ACBABC
度之比ω∶ω∶ω=。
ABC
【解析】A、B两轮由皮带带动一起转动,皮带不打滑,故A、B两A
B
、
轮边缘上各点的线速度大小相等。BC两轮固定在同一轮轴上,同r
rC
Ar
轴转动,角速度相等。由v=rω可知,B、C两轮边缘上各点的线速B
度大小不等,且C轮边缘上各点的线速度是B轮边缘上各点线速度C
的两倍,故有v∶v∶v=1∶1∶2。
ABC
A、B两轮边缘上各点的线速度大小相等,同样由v=rω可知,它们的角速度与半径成反比,
即ω∶ω=r∶r=1∶2。因此ω∶ω∶ω=1∶2∶2
ABBAABC
14、雨伞边缘半径为r,且高出水平地面的距离为h,如图所示,若雨伞以角速度ω匀速旋转,使
雨滴自雨伞边缘水平飞出后在地面上形成一个大圆圈,则此圆圈的半径R为多大?
【解析】作出雨滴飞出后的三维示意图,如图所示。雨滴飞出的速度大小v=rω,在竖直方向上有
1
h=gt2,在水平方向上有s=vt,又由几何关系可得R=r2s2,
2
r
联立以上各式可解得雨滴在地面上形成的大圆圈的半径R=g22g2h。
g
15、关于向心速度,以加下说法中正确的是(AD)




【解析】向心速度的方向加沿半径指向圆心,速度方向则沿圆周的切线方向。所以,向心速度加
的方向始终与速度方向垂直,且方向在不断改变。物体做匀速圆周运动时,只具有向心速度,加加
速度方向始终指向圆心;一般情况下,圆周运动的向心速度与加切向速度的加合加速度的方向就不
始终指向圆心。
16、如图所示,A、B两轮同绕轴O转动,A和C两轮用皮带传动,A、B、C三轮的半径之比为2∶
3∶3,a、b、c为三轮边缘上的点。求:
⑴三点的线速度之比;B
CA
O
⑵三点转动的周期之比;a
c
⑶三点的向心速度之比。加b
【解析】⑴因A、B两轮同绕轴O转动,所以有ω=ω,
ab
由公式v=ωr可知v∶v=(ωr)∶(ωr)=r∶r=2∶3。
abaabbab
因为A和C两轮用皮带传动,所以有v=v,
ac
综上所述可知三轮上a、b、c三点的线速度之比v∶v∶v=2∶3∶2。
abc
2πr
⑵因为ω=ω,所以有T=T。因为v=v,根据T=可得
ababacv
T∶T=r∶r=2∶3,
acac
所以三点转动的周期之比T∶T∶T=2∶2∶3。
abc
v2
⑶根据向心加速度公式a=可得三点的向心加速度之比
R
v2v2v2494
a∶a∶a=a∶b∶c=∶∶=6∶9∶4。
abcrrr233
abc
17、如图所示,将一质量为m的摆球用长为L的细绳吊起,上端固定,使摆球在水平面内做匀速
圆周运动,细绳就会沿圆锥面旋转,这样就构成了一个圆锥摆。关于摆球的受力情况,下列说法中
正确的是(C)
FF
、拉力和向心力的作用T1T

L
F

FO
T2

【解析】物体只受重力G和拉力F的作用,而向心力F
TG
是重力和拉力的合力,如图所示。也可以认为向心力就
是F沿水平方向的分力F,显然,F沿竖直方向的分力F与重力G平衡。
TT2TT1
18、如图所示,一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线直于水平面,圆锥形筒固定垂不动,有两个质量相
等的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动,则以下说法中正确的是
(AB)


B


【解析】小球A或B的受力情况如图,两球的向心力都来源于重力G和F
N1F
支持力F的合力,建立坐标系,有F=Fsinθ=mg,F=Fcosθ=F,N
NN1NN2N
所以F=mgcotθ,即小球做圆周运动所需的向心力,可见A、B两球的θ
OFx
向心力大小相等。N2
mg
v2θ
比较两者线速度大小时,由F=m可知,r越大,v一定较大。
r
比较两者角速度大小时,由F=mrω2可知,r越大,ω一定较小。
2π
比较两者的运动周期时,由F=mr()2可知,r越大,T一定较大。
T
mg
由受力分析图可知,小球A和B受到的支持力F都等于。
Nsinθ
19、一细杆与水桶相连,水桶中装有水,水桶与细杆一起在竖直平面内做圆周运动,如图所示,水
的质量m=,水的重心到转轴的距离l=50cm。
⑴若在最高点水不流出来,求桶的最小速率;
⑵若在最高点水桶的速率v=3m/s,求水对桶底的压力。
【解析】⑴以水桶中的水为研究对象,在最高点恰好不流出来,说明水
的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力,此时桶的速率最小。此时有
v2
mg=m0,则所求的最小速率为v=gl=10=。
l0
⑵在最高点,水所受重力mg的方向竖直向下,此时水具有向下的向心加速度,处于失重状态,
其向心加速度的大小由桶底对水的压力和水的重力决定。
v2
由向心力公式F=m可知,当v增大时,物体做圆周运动所需的向心力也随之增大,由于v
r
=3m/s>v=,因此,当水桶在最高点时,水所受重力已不足以提供水做圆周运动所需的
0
v2
向心力,此时桶底对水有一向下的压力,设为F,则由牛顿第二定律有F+mg=m,
NNr
v232
故F=m-mgN10N=4N。