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(圆满版)二次函数动点问题解答方法技巧分析
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(圆满版)二次函数动点问题解答方法技巧分析
函数解题思路方法总结:
⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需转变成一元二次方程;
⑵求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转变成极点式;
⑶依照图象的地址判断二次函数ax2+bx+c=0中a,b,c的符号,或由二次函数中a,b,c
的符号判断图象的地址,要数形结合;
⑷二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,
或已知与x轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式
ax2+bx+c
﹙a≠0﹚
自己就是所含
字母x的二次函数;下面以
a>0时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方
程之间的内在联系:
二、抛物线上动点
5、(湖北十堰市)如图①,已知抛物线yax2bx3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和
点B(-3,0),与y轴交于点C.
求抛物线的分析式;
(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上可否存在点P,使△CMP为等腰三
角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明原由.
(3)如图②,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的
最大值,并求此时E点的坐标.
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注意:第(2)问按等腰三角形极点地址分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为
极点时,以C为圆心CM为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,②M为极点时,以M为
圆心MC为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,③P为极点时,线段MC的垂直均分线与
对称轴交点即为所求点P。
第(3)问方法一,先写出头积函数关系式,再求最大值(涉及二次函数最值);方
法二,先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标(涉及简单二元二次方程组),再求面积。
070809
动点个数两个一个两个
问题背景特别菱形两边上搬动特别直角梯形三边抛物线中特别直角梯形底
上搬动边上搬动
观察难点研究相似三角形研究三角形面积函研究等腰三角形
数关系式
①菱形性质
①求直线分析式
①求抛物线极点坐标
②特别角三角函数
②四边形面积的表
②研究平行四边形
考
③求直线、抛物线分析式
示
③研究动三角形面积是定
④相似三角形
③动三角形面积函
值
点
⑤不等式
数④矩形性质
④研究等腰三角形存在性
①菱形是含60°的特别菱形;
①观察图形构造特
①直角梯形是特其他(一底
△AOB是底角为30°的等腰三
征合适割补表示面
角是45°)
角形。
积
②点动带动线动
②一个动点速度是参数字母。
②动点按到拐点时
③线动中的特别性(两个交
③研究相似三角形时,按对应角
间分段分类
点D、E是定点;动线段PF
特
不一样样样分类讨论;先画图,再研究。
③画出矩形必备条
长度是定值,PF=OA)
④经过相似三角形过分,转变相
件的图形研究其存
④经过相似三角形过分,转
似比得出方程。
在性
化相似比得出方程。
⑤利用a、t范围,运用不等式
⑤研究等腰三角形时,先画
点
求出a、t的值。
图,再研究(按边相均分类
讨论)
共同点:
①特别四边形为背景;
②点动带线动得出动三角形;
③研究动三角形问题(相似、等腰三角形、面积函数关系式);
④求直线、抛物线分析式;
⑤研究存在性问题时,先画出图形,再依照图形性质研究答案。
二次函数的动向问题(动点)
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,已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是
A(4,0),B(
2,0),E(0,8).
1)求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的分析式;
2)设抛物线C1的极点为M,抛物线C2与x轴分别交于C,D两点(点C在点D的左侧),
极点为N,四边形MDNA的面积为
,点D同时以每秒
1个单位的速度沿水平
方向分别向右、向左运动;与此同时,点
M,点N同时以每秒
2个单位的速度沿坚直方向
分别向下、向上运动,
t之间的关系式,并写出自变量
t的取值范围;
(3)当t为何值时,四边形
MDNA的面积S有最大值,并求出此最大值;
(4)在运动过程中,四边形
MDNA可否形成矩形?若能,求出此时
t的值;若不能够,请说
明原由.
[解](1)点A(
4,0)
,点B(2,0),点E(0,8)关
于原点的对称点分别为D(4,0),C(2,0),
F(0,8).
设抛物线C2的分析式是
yax2
bx
c(a
0),
16a
4b
c
,
a
,
0
1
则4a
2bc0,解得b
6,
c
8.
c
8.
所以所求抛物线的分析式是
y
x2
6x8.
(2)由(1)可计算得点M(
3,1),N(31),.
过点N作NH
AD,垂足为H.
当运动到时辰t时,AD
2OD8
2t,NH
12t.
依照中心对称的性质
OA
OD,OM
ON,所以四边形
MDNA是平行四边形.
所以S
2S△ADN.
所以,四边形MDNA的面积S(8
2t)(1
2t)
4t2
14t
8.
因为运动至点
A与点D重合为止,据题意可知
0≤t
4
.
所以,所求关系式是
S
4t2
14t
8
,t的取值范围是
0≤t
4
.
(3)S
4
t
7
81,(
0≤t
4
).所以t
7
时,S有最大值
81.
4
4
4
4
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提示:也可用极点坐标公式来求.
(4)在运动过程中四边形
MDNA能形成矩形.
由(2)知四边形MDNA是平行四边形,对角线是
AD,MN,所以当ADMN时四边形
MDNA是矩形.
所以OD
ON2
OH2
NH2.
所以t2
4t2
2
6
2,t2
6
2(舍).
所以在运动过程中四边形
MDNA能够形成矩形,此时
t
6
2.
[讨论]此题以二次函数为背景,
结合动向问题、存在性问题、
最值问题,是一道较传统的压
轴题,能力要求较高。
2.(06福建龙岩卷)如图,已知抛物线
y
3
x2
bx
c与坐标轴交于A,B,C三点,
4
点A的横坐标为
1,过点C(0,3)的直线y
3x
3与x轴交于点Q,点P是线段BC上
的一个动点,PH
4t
0
t
1.
,且
(1)确定b,c的值:b
_____,c
_____;
(2)写出点B,Q,P的坐标(其中Q,P用含t的式子表示):
B(___,),Q(___,___),P(___,___);
(3)依点P的变化,可否存在t的值,使△PQB为等腰三角形?若存在,求出所有t的值;
若不存在,说明原由.
y
[解](1)b
9
c3
4
(2)B(4,0)
Q(4t,0)
P(4
4t,3t)
C
(3)存在t的值,有以下三种情况
P
①当PQ
PB时
QPH
OB,则GH
HB
A
O
Q
H
Bx
44t
4t
4t
1
t
C
3
P
②当PB
QB时,得
44t5t
4
t
D
9
③当PQ
QB时,如图解法一:过
Q作QD
BP,又PQ
QB
O
Q
B
5
BP
5
BD
BQ
t
4
4t
32
则BD
2
2
t又△BDQ∽△BOC
BO
BC
4
5
t
2
57
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解法二:作Rt△OBC斜边中线OE
C
P
BC
5
则OE
BE,BE
,此时△OEB∽△PQB
E
2
2
BE
OB
5
4
32
O
Q
B
2
t
BQ
PB
44t
5t
57
解法三:在Rt△PHQ中有QH2
PH2
PQ2
C
P
4)2
(3t)2
4t)2
57t2
(8t
(4
32t
0
t
32,t
0(舍去)
O
HQ
57
B
又Q0
t1
当t
1
或
4或32时,△PQB为等腰三角形.
3
9
57
解法四:
数学经常有两个思虑方向:
代数和几何,有时能够独立思虑,有时需要综合运用。
代数讨论:计算出△
PQB三边长度,均用
t表示,再讨论分析
Rt△PHQ中用勾股定理计算
PQ长度,而PB、BQ长度都能够直接直接用
t表示,进行分组讨论即可计算。
[讨论]此题综合性较强,涉及函数、相似性等代数、几何知识,
1、2
小题不难,第3
小题
是比较常例的关于等腰三角形的分类讨论,
需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检
验,在此题中若求出的
t
值与题目中的
0
t1矛盾,应舍去
,已知直线y
1x与抛物线y
1x2
6交于A,B两点.
2
4
1)求A,B两点的坐标;
2)求线段AB的垂直均分线的分析式;
(3)如图2,取与线段AB等长的一根橡皮筋,端点分别固定在A,,动点P将与A,B构成无数个三角形,
这些三角形中可否存在一个面积最大的三角形?若是存在,求出最大面积,并指出此时P点
的坐标;若是不存在,请简要说明原由.
yy
P
B
B
OxOx
AA
图1
1x2
图2
y
6
x1
6
x2
4
[解](1)解:依题意得
4
1x
解之得
y
y1
3
y2
2
2
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A(6,3),B(4,2)
(2)作AB的垂直均分线交x轴,y轴于C,D两点,交AB于M(如图1)
由(1)可知:OA35OB25
y
AB
55
OM
1AB
OB
5
B
C
2
2
EO
x
过B作BE⊥x轴,E为垂足
M
A
由△BEO∽△OCM,得:
OC
OM
5
,
D
OB
OE
,OC
4
同理:OD
5,
C
5,,
D
,5
图1
2
0
0
2
第26题
4
设CD的分析式为y
kx
b(k
0)
0
5
b
k2
k
5
4
5
b
b
2
2
AB的垂直均分线的分析式为:
y
2x
5
.
(3)若存在点P使△APB的面积最大,则点
2
P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交
点的直线
1
x轴,
G,H
y
x
m
上,并设该直线与
y
轴交于
两点(如图
2
2
).
y
1
m
y
x
1
1
H
2
2
m
6
0
1
x
x
y
2
6
4
2
P
x
4
B
抛物线与直线只有一个交点,
G
2
O
x
1
4
1(m6)
0,
2
4
A
25
23
在直线
1
25
m
,
GH:y
中,
P1
x
4
4
4
2
图2
25
,,
25
GH
25
,
G0
H0
5
2
4
4
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设O到GH的距离为d,
1
g
1g
g
2
GHd
2
OGOH
1
25
5d
1
25
25
2
4
2
2
4
5
5
2
QAB∥GH,
P到AB的距离等于O到GH的距离d.
另解:过P做PC∥y轴,PC交AB于C,当PC最大时△PBA在AB边上的高h最大(h
与PC夹角固定),则S△PBA最大→问题转变成求PC最大值,设P(x,),C
(x,),从而能够表示PC长度,进行极值求取。
最后,以PC为底边,分别计算S△PBC和S△PAC即可。
[讨论]这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题,有必然的能力要求,第3
小题是一个最值问题,解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。
①,正方形ABCD的极点A,B的坐标分别为010,,8,4,极点C,D在第一象
,沿正方形按逆时针方向匀速运动,同时,点Q从点E4,0出发,沿
,P,Q两点同时停止运动,设运动的时
间为t秒.
(1)求正方形ABCD的边长.
(2)当点P在AB边上运动时,△OPQ的面积S(平方单位)与时间
t(秒)之间的函数
图象为抛物线的一部分(如图②所示)
,求P,Q两点的运动速度.
(3)求(2)中面积S(平方单位)与时间t(秒)的函数关系式及面积
S取最大值时点P
的坐标.
(4)若点P,Q保持(2)中的速度不变,则点
P沿着AB边运动时,∠OPQ的大小随着
时间t的增大而增大;沿着BC边运动时,∠OPQ的大小随着时间
沿着这两边运动时,使
∠OPQ
90o的点P有
个.
2
ca0
的极点坐标是
b
4acb2
.
(抛物线yaxbx
2a
,
4a
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y
s
D
28
C
AP
20
B
Q
OE
x
O
10t
图①
图②
[解](1)作BFy轴于F.
QA010,,B8,4,
FB8,FA6.
AB10.
2)由图②可知,点P从点A运动到点B用了10秒.
又QAB1010,101.
P,Q两点的运动速度均为每秒
1个单位.
(3)方法一:作
PG
y轴于G,则PG∥BF.
GA
AP
GA
t
FA
,即
.
AB
6
10
GA
3t.
5
3
OG
10
t.
5
QOQ
4
t,
S
1OQOG
1t4103t
.
2
2
5
即S
3t2
19t
20.
10
5
b
19
19
19
5
≤10,
Q
3
,且0≤
3
2a
2
3
10
当t
19
时,S有最大值.
3
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此时GP
4t
76,OG
10
3t
31,
5
15
5
5
76
31
.
(8分)
点P的坐标为
,
15
5
方法二:当t
5时,OG
7,OQ
9,S
1OGgOQ
63.
2
2
设所求函数关系式为
Sat2
bt
20
.
Q抛物线过点
63
,,,
,
1028
5
2
100a10b2028,
25a5b2063.
2
3,
10
19.
5
S
3t2
19t
20.
10
5
b
19
19
19
5
≤
≤10
,
Q
3
,且0
3
2a
2
3
10
当t
19
时,S有最大值.
3
此时GP
76,OG
31,
15
5
31
P的坐标为,.
155
(4)2.
[讨论]此题主要观察函数性质的简单运用和几何知识,是近来几年来较为流行的试题,解题的关
键在于结合题目的要求动中取静,相信解决这种问题不会特别难。
.
①,Rt△ABC中,B90o,(10,0),极点
B的坐标为(5,53),AB10,点P从点A出发,沿ABC的方向匀速运动,同
时点Q从点D(0,2)出发,沿y轴正方向以相同速度运动,当点P到达点C时,两点同时停
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止运动,设运动的时间为t秒.
(1)求BAO的度数.
(2)当点P在AB上运动时,△OPQ的面积S(平方单位)与时间
t(秒)之间的函数图
象为抛物线的一部分,(如图②),求点P的运动速度.
(3)求(2)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积
S取最大值时点
P的坐标.
(4)若是点P,Q保持(2)中的速度不变,那么点
P沿AB边运动时,
OPQ的大小随
着时间t的增大而增大;沿着
BC边运动时,
OPQ的大小随着时间
t的增大而减小,当点
P沿这两边运动时,使OPQ
90o的点P有几个?请说明原由.
y
C
S
30
B
Q
P
10
D
O
A
x
O
5t
(第29题图②)
(第29题图①)
解:
(1)∠BAO
60o.
2)点P的运动速度为2个单位/秒.
3)P(10t,3t)(0≤t≤5)
QS
1(2t
2)(10t)
2
9
2
121.
t
2
4
当t
9
时,S有最大值为
121,
2
4
此时P
11
9
3
.
2
,
2
(4)当点P沿这两边运动时,
∠OPQ90o的点P有2个.
①当点P与点A重合时,∠OPQ
90o,
当点P运动到与点B重合时,OQ的长是12单位长度,
作∠OPM90o交y轴于点M,作PHy轴于点H,
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