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数学优秀电子教案模板
第1篇:高等数学电子教案4(优秀)
高等数学教案
第四章
不定积分
教学目的:
第四章
不定积分
1、理解原函数概念、不定积分的概念。
2、掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分的性质,掌握换元积分法(第一,第二)与分部积分法。
3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。教学重点:
1、不定积分的概念;
2、不定积分的性质及基本公式;
3、换元积分法与分部积分法。教学难点:
1、换元积分法;
2、分部积分法;
3、三角函数有理式的积分。
青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组
高等数学教案
第四章
不定积分
§
一、教学目的与要求:
。掌握不定积分的基本公式。
二、重点、难点:原函数与不定积分的概念
三、主要外语词汇:Atfirstfunction,Beaccumulatefunction,Indefiniteintegral,、辅助教学情况:多媒体课件第四版和第五版(修改)
五、参考教材(资料):同济大学《高等数学》第五版
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高等数学教案
第四章
不定积分
一、原函数与不定积分的概念
定义
1如果在区间I上,可导函数F(x)的导函数为f(x),即对任一xÎI,都有
F¢(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,
那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数.
例如因为(sinx)¢=cosx,所以sinx是cosx的原函数.
又如当xÎ(1,+¥)时,
因为(x)¢=1,所以x是1的原函数.
2x2x
提问:
cosx和1还有其它原函数吗?
2x
原函数存在定理
如果函数f(x)在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数F(x),使对任一xÎI都有
F¢(x)=f(x).
简单地说就是:连续函数一定有原函数.
两点说明:
第一,如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x),那么f(x)就有无限多个原函数,F(x)+C都是f(x)的原函数,其中C是任意常数.
第二,f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数,即如果F(x)和F(x)都是f(x)的原函数,则F(x)-F(x)=C
(C为某个常数).
定义2在区间I上,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分,记作
òf(x)dx.
其中记号ò称为积分号,f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量.
根据定义,如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,那么F(x)+C就是f(x)的不定积分,即
òf(x)dx=F(x)+C.
因而不定积分òf(x)dx可以表示f(x)的任意一个原函数.
,所以
òcosxdx=sinx+C.
因为x是1的原函数,所以
2x青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组
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第四章
不定积分
ò1dx=x+C.
2x
(x)=1的不定积分.
x解:当x>0时,(lnx)¢=1,
x
ò1dx=lnx+C(x>0);
x
当x-xx
ò1dx=ln(-x)+C(xx合并上面两式,得到
ò1dx=ln|x|+C(x¹0).
x
例3设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程.
解设所求的曲线方程为y=f(x),按题设,曲线上任一点(x,y)处的切线斜率为y¢=f¢(x)=2x,即f(x)是2x的一个原函数.
因为
ò2xdx=x2+C,
故必有某个常数C使f(x)=x2+C,即曲线方程为y=x2+C.
因所求曲线通过点(1,2),故
2=1+C,
C=1.
于是所求曲线方程为y=x+1.
积分曲线:函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线.
从不定积分的定义,即可知下述关系:
d[f(x)dx]=f(x),
dxò2或
d[òf(x)dx]=f(x)dx;
又由于F(x)是F¢(x)的原函数,所以
òF¢(x)dx=F(x)+C,
或记作
òdF(x)=F(x)+C.
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第四章
不定积分
由此可见,微分运算(以记号d表示)与求不定积分的运算(简称积分运算,以记号ò表示)ò与d连在一起时,或者抵消,或者抵消后差一个常数.
二、基本积分表(1)òkdx=kx+C(k是常数),
(2)òxmdx=1xm+1+C,
m+1(3)ò1dx=ln|x|+C,
x(4)òexdx=ex+C,
x(5)òaxdx=a+C,
lna(6)òcosxdx=sinx+C,
(7)òsinxdx=-cosx+C,
(8)ò(9)ò1dx=òsec2xdx=tanx+C,
2cosx1dx=òcsc2xdx=-cotx+C,
2sinx1dx=arctanx+C,
1+x211-x2(10)ò(11)òdx=arcsinx+C,
(12)òsecxtanxdx=secx+C,
(13)òcscxcotdx=-cscx+C,
(14)òshxdx=chx+C,
(15)òchxdx=shx+C.
111x-3+1+C=-2+C.
例4ò3dx=òx-3dx=-3+12xx青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组
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不定积分
例5òx2xdx=òx52dx=15+125+1x2+C22=x2+C=x3x+C777.
例6òdx=òx3xx-43dx=4-+1x34-+13+C=-3x-13+C=-33x+C.
三、不定积分的性质
性质1函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和,即
ò[f(x)+g(x)]dx=òf(x)dx+òg(x)dx.
这是因为,[òf(x)dx+òg(x)dx]¢=[òf(x)dx]¢+[òg(x)dx]¢=f(x)+g(x).性质2求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即
òkf(x)dx=kòf(x)dx(k是常数,k¹0).
例7.òx(x-5)dx=ò(x2521-5x2)dx
1x2dx=ò=例8ò5x2dx7-ò15x2dx3=ò5x2dx-5ò
27x2-5×23x2+C.
(x-1)3x2x3-3x2+3x-131dx=òdx=ò(x-3+-2)dx2xxx1111=òxdx-3òdx+3òdx-ò2dx=x2-3x+3ln|x|++C.
x2xx例9ò(ex-3cosx)dx=òexdx-3òcosxdx=ex-3sinx+C.
例10xxxò2edx=ò(2e)dx=2(2e)xln(2e)+C=2xex+C1+ln2.
1+x+x11dx=dx=(+)dx
例11òòòx(1+x2)x(1+x2)1+x2xx+(1+x2)=ò例1211dx+òdx=arctanx+ln|x|+C.
2x1+x(x2+1)(x2-1)+1x4x4-1+1dxò1+x2dx=ò1+x2dx=ò1+x2
=ò(x2-1+11)dx=òx2dx-òdx+òdx21+x1+x2青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组
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第四章
不定积分
=1x3-x+arctanx+C.
3例13òtan2xdx=ò(sec2x-1)dx=òsec2xdx-òdx
=tanx-x+C.
例14òsin2xdx=ò1-cosxdx=1ò(1-cosx)dx
222=例15ò
12(x-sinx)+C.
1dx=-4cotx+C.
sin2x1sin2xxcos222dx=4ò青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组
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第四章
不定积分
§
一、教学目的与要求:
(凑微分法),熟悉常见的凑微分的类型,会灵活应用凑微分法求不定积分。
掌握不定积分的第二类换元法,并会灵活运用常用的代换方法。
二、重点、难点:换元法
三、主要外语词汇:Changeadollar
四、辅助教学情况:多媒体课件第四版和第五版(修改)
五、参考教材(资料):同济大学《高等数学》第五版
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第四章
不定积分
一、第一类换元法
设f(u)有原函数F(u),
u=j(x),且j(x)可微,那么,根据复合函数微分法,有dF[j(x)]=dF(u)=F¢(u)du=F¢[j(x)]dj(x)=F¢[j(x)]j¢(x)dx,
所以
F¢[j(x)]j¢(x)dx=F¢[j(x)]dj(x)=F¢(u)du=dF(u)=dF[j(x)],
因此
òF¢[j(x)]j¢(x)dx=òF¢[j(x)]dj(x)
=òF¢(u)du=òdF(u)=òdF[j(x)]=F[j(x)]+
òf[j(x)]j¢(x)dx=òf[j(x)]dj(x)=[òf(u)du]u=j(x)
=[F(u)+C]u=j(x)=F[j(x)]+C.
定理
1设f(u)具有原函数,u=j(x)可导,则有换元公式
f[j(x)]j¢(x)dx=òf[j(x)]dj(x)=òf(u)du=F(u)+C=F[j(x)]+Cò.
被积表达式中的dx可当作变量x的微分来对待,从而微分等式j¢(x)dx=du可以应用到被积表达式中.
在求积分òg(x)dx时,如果函数g(x)可以化为g(x)=f[j(x)]j¢(x)的形式,那么
òg(x)dx=òf[j(x)]j¢(x)dx=[òf(u)du]u=j(x).
例1.ò2cos2xdx=òcos2x×(2x)¢dx=òcos2xd(2x)
u+C=sin2x+C.
=òcosudu=sin11111dx=ò(3+2x)¢dx=òd(3+2x)
例2.ò3+2x23+2x23+2x1111
=òdx=ln|u|+C=ln|3+2x|+C.
2u22例3.ò2xexdx=òex(x2)¢dx=òexd(x2)=òeudu
=eu+C=ex+C.
11例4.òx1-x2dx=ò1-x2(x2)¢dx=ò1-x2dx2
22222
2111=-ò1-x2d(1-x2)=-òu2du=-u2+C223=-1(1-x2)2+
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第四章
不定积分
例5.òtanxdx=òsinxdx=-ò1dcosx
cosxcosx
=-ò1du=-ln|u|+C
u
=-ln|cosx|+C.
即