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(完满word版)深入浅出的讲清楚有限元法
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“有限元法基础及应用”补充讲义(一)
顾克秋
2005年3月)
一、引子——弹簧单元与弹簧系统
目标:掌握失散结构直接刚度法分析的原理和形式。认识有限元位移法列式的形式和基本看法。
1、典型弹簧单元分析
弹簧单元描绘:弹簧的物理特点:
图1-1
2个节点:i,j
图
1-2
节点位移:ui,uj
已知弹簧力——位移关系:
Fk
k
弹簧刚度
节点力:fi,fj
uj
ui—弹簧伸长量
单元自由度:2
F
弹簧力,拉伸为正
考虑弹簧变形均衡时的条件和弹簧物理特点,获取以下方程:
fi
F
k(uj
ui)kui
kuj
fj
Fk(uj
ui)
kui
(1-1)
kuj
写成矩阵形式:
fi
k
k
ui
fj
k
k
(1-2)
uj
写成矩阵符号形式:
fkd
(1-3)
1
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式(1-2)、(1-3)为弹簧单元的刚度方程,反应了单元特点:节点力与节点位移
之间的关系。式中:
k——弹簧单元的刚度矩阵
d——单元节点位移排阵
f——单元节点力排阵
(注意:单元节点力是节点对单元的作用力)
弹簧单元刚度方程谈论:
1)k有何特点?
对称、奇异、主对角元素恒正
2)k中元素代表什么含义?
刚度系数大小等于弹簧刚度;每列元素代表一端固定、另一端产生单位位移时加在弹簧单元上的节点力。
3)上面单元刚度方程可以求解吗?为什么?
不可以够。刚度方程不过表征一个典型单元的弹性特点,单元水平上无法确定单元节点位移。只有把系统中全部单元特点集成后,在系统水平上才可能求出全部未知位移和反力。单元水平上,若已知单元的节点位移,可由刚度方程求出全部单元节点力重量。若节点力已知,单元节点位移不可以确定,单元可作刚体运动(小位移)。这也是单元刚度矩阵奇异性的物理解说。
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2、弹簧系统整体分析原理
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以右图的一个弹簧系统为例,研究如何由单元特点集成系统特点并成立对系统进行求解的控制方程。
由前面获取的弹簧单元的刚度方程公式(1-2),分别写出2个弹簧单元的特点方程以下:
图1-3
单元1
(1-4)
单元2
(1-5)
(注:右端节点力重量的下标1,2为单元节点的局部编号,上标是单元号)
下面按两个方法达成系统特点的装置和控制方程的成立。并在特定条件下求
解。
1)由节点均衡方程导出:
系统处于均衡时,考虑各节点(1,2,3节点)的均衡条件:
节点遇到的外载荷与节点遇到与其连结的全部单元对其作用力
(单元节点力
的反作用力)之和等于零。因此有以下(节点)均衡方程(组)
:
F
f
1
1
1
F
f
1
f2
2
2
1
(1-6)
F
f
2
3
2
把单元特点(1-4),(1-5)代入(1-6)获取:
F1
k1u1
k1u2
F2
k1u1
(1-7)
(k1k2)u2k2u3
F3
k2u2
k2u3
写成矩阵形式:
(1-8)
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或矩阵符号形式:
KDF
(1-9)
式(1-8),(1-9)就是系统均衡方程,该方程成立了失散系统的外载荷与节点位移之间的关系,是求解节点位移的控制方程。
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K
D
F
——弹簧系统的结构总刚度矩阵
——系统节点位移排阵
——系统节点载荷排阵
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谈论:(1)K有那些特点和性质?
2)上述方程能求解吗?
由单元刚度方程叠加导出
将单元1,2的刚度方程(1-4),(1-5)进行增广(扩大到系统规模):
(1-10)
(1-11)
上述两个矩阵方程叠加,得:
(1-12)
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上式中代入节点力均衡关系(1-6),就获取与(1-8)相同的节点均衡方程。上述两种方法都必定考虑1)单元特点集成;2)失散结构的节点上外载荷(系统外力)与节点力(系统内力)的均衡。因此方程(1-8)的实质是节点的力均衡关系,左边是由节点位移表示的(总)节点力,右边是节点所受外载荷。
3)给定载荷和拘束条件下的求解
设界限条件为:
u10(1-13)
F2F3P
则节点均衡方程(1-8)变化为:
(1-14)
该方程组张开后分为2个部分:第2,3个方程变化为:
(1-15)
第1个方程变化为:
(1-16)
先后解方程(1-15)、(1-16)获取:
(1-17)
(1-18)
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从而解出了系统的未知位移和未知反力,并可以进一步求弹簧力。
3、例题
图1-4所示一个3个弹簧的系统。
k1
100N/mm,k2
200N/mm,
k3
100N/mm,P
500N,u1u40
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求:(a)系统总刚度矩阵
b)节点2,3的位移
c)节点1、4的反力
d)弹簧2中的力
解:
a):
写出各单元刚度矩阵:
图1-4
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应用叠加法直接获取系统总刚度矩阵:
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或:
该总刚度矩阵特点:对称性、奇异性、罕见、非零元素沿主对角线呈带
状分布。
b):
参照前面的做法((1-8)式)和求出的总刚度矩阵,写出系统节点均衡
方程:
(1-19)
考虑到位移界限条件:u1u40
则均衡方程组(1-19)第2,3方程化为:
求解上式得:
(c):
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由(1-19)的方程1,4得:
(d):
弹簧2内力为:
F2
k2
2
k2(u3u2)
200
3
2200(N)
4、练****题
对图示弹簧系统,试用叠加法
求其总刚度矩阵。并依照节点均衡
方程的含义,试一试由各单元刚度矩
阵的元素直接写出总刚度矩阵的非
零元素。
(拉力)
图1-5
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二、杆单元
目标:经过杆单元特点方程的成立,初步掌握有限元法单元分析的过程和原理。
认识杆系结构分析的原理。
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1、等截面杆单元及其刚度矩阵
研究2节点等截面杆单元:
单元上的力学量和基本关系以下:
L—杆长
A—截面积
E—弹性模量
du
dx
E
uu(x)——杆单元位移
(x)——杆单元应变
(x)——杆单元应力
图2-1
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应变—位移关系:
(2-1)
单元节点位移:
应力—应变关系:
(2-2)
单元节点力:f
f
uii
d
fj
uj
下面研究杆单元的单元特点。
1)直接法导出杆单元特点
采用资料力学基本知识对单元进行力学分析:
杆单元伸长量:ujui(2-3)
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杆应变:
L
E
杆应力:
E
L
杆内力:
EA
EA
FA
k
L
L
杆的轴向刚度:
EA
k
L
2-4)
2-5)
2-6)
2-7)
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由于轴向变形模式下,杆单元的行为与弹簧单元相同,因此可比较弹簧单元的刚度方程(1-2),考虑到(2-7),直接写出杆单元的刚度方程:
fi
EA
1
1
ui
(
9)
fj
L
1
1
uj
2-8
写成符号形式:
fkd
杆单元刚度矩阵为:
EA1
1
k
(2-10)
L11
2)公式法导出杆单元特点
步骤以下:
(1)在单元上定义近似位移场
把一个单元上的位移分布假定为简单多项式函数。有限元法顶用插值法经过
节点位移重量作为待定参数来结构单元位移函数。对图2-1的杆单元,方便起见引入局部坐标
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