文档介绍：第二章:连续时间线性定常系统时域分析
§ 系统的数学模型
R、L、C上的电压与电流关系——关系模型
电阻:
(2-1)
或
(2-2)
图2-1 电阻

图2-2 电压作用于电阻产生电流图2-3 电流作用于电阻产生电压
电感:
(2-3)
或:
(2-4)
图2-4 电感上的直流不产生电压

图2-5 电流作用于电感产生电压图2-6 电压作用于电感产生电流
电容:
(2-5)
或:
(2-6)

图2-7 电容上的恒压不产生电流
图2-8 电压作用于电容产生电流图2-9 电流作用于电容产生电压
求和(相加):
(2-7)
图2-10 信号汇聚流图
分支:
(2-8)

图2-11 信号分支流图
须注意,信息可以拷贝,可以无限复制;而物质则只能被瓜分式共享。
LTI连续时间系统的状态空间模型(此内容不作为本章重点)
(《信号与系统》第二版(郑君里),,):
例1:如图2-12电路
求:(1),(2)
解:列回路电流、电压方程:
消去i1、i2、i3,得下列方程:
图2-12 例1电路图
定义(状态):能够表征系统时域动力学行为的一组最小内部变量组。
物理上,状态的维数dimX(t) = 系统中独立储能元件的个数
状态的选取可以不唯一
状态空间模型:
(状态方程) (2-9)
(观测方程/输出方程) (2-10)
其中,V(t) = ,为输入向量(r维)
X(t) = ,为状态向量(n维)
Y(t) = ,为输出向量(m维)
(t) =
图2-13 系统的状态空间模型
方程的解为:
X(t) = eAt X(0) + B V(τ) dτ(2-11)
Y(t) = CeAt X(0) + CB + DV(τ) dτ(2-12)
若V(t)、X(0)已知,则X(t)、Y(t)确定。
注:(2-11)的两项分别是状态向量的零输入响应与零状态响应;
(2-12)的两项分别是输出向量的零输入响应与零状态响应。
LTI系统的微分方程模型:
具有n个独立储能元件的单输入单输出(SISO)系统,输出输入关系为:
已知输入V(t)、输出初值,求y (t) = ?
求解步骤:(1)求齐次解,参见郑书(2-12)式,n个待定系数;
(2)求特解,根据输入信号形式确定,参见表2-2;
(3)全解=齐次解+特解,代入n个边界条件,求出n个待定系数。
LTI系统的系统算子模型(郑书:):
令:,则微分方程模型化为算子模型:
令:
有:
(2-13)
其中, 称为系统算子。
注意三点:
与的公因式一般不可相消
与的顺序一般不可交换
不同的物理系统,输入—输出方程可能相同,但含义不同
可对进行因式分解,其基本单元为:
(2-14)
只需对(2-14)两端施以p+a 运算,即可验证等式成立;并可进一步推得下列的(2-19)式的成立。
§ LTI系统的响应(《信号与系统》第二版(郑君里),,)
LTI系统的微分方程:
先来关注几个重要概念:
起始状态(状态):,简记为Y(0-)
初始状态(状态):,简记为Y (0+),亦称为初始条件
一般地,Y (0-) ≠ Y (0+)
零输入(zero input)响应:没有外加激励信号的作用,即≡0,由起始状态y (0-)≠0所产生的响应;此时,Y (0+)= Y (0-)。
零状态(zero state)响应:起始时刻系统储能为0,即Y (0-)≡0,由系统的外加激励信号所产生的响应;此时,系统储能瞬间发生了跳变,Y (0+)¹ Y (0-)=0。
下面讨论系统在的输出,表示所求的响应从0+开始。
零输入响应:
,Y(0-)≠0
(2-15)
特征方程:
(2-16)
特征根:
(2-17)
在特征根无重根的情况下:
(2-18)
有k重根时,对应这个重根的解有k项,参见郑君里教材(2-14)式。
这些属于线性常系数微分方程求解问题,此不赘述。
注意:无外界输入,仅靠初始储能不为零而产生的输出必然衰减到零!只是衰减的快慢不同而已。那么衰减的快慢取决于什么呢?请同学们考量!
零状态响应:Y (0-)= 0,
(2-19)
此式不难从本讲义(2-14)式推得。
\ 齐次解项+特解项
(2-20)
注意:①特解反映了输入对输出的胁迫——小子哎,老师点,跟老子走!
②由Y(0+)≠0带入(2-20)式确定;齐次项由输入激发产生,一般亦将衰减到零。
在输入激励信号作用的瞬间,系统完成了初始储能,从零起始状态跳变到非零初始状态。因此,所关心的是系统在