数学北师大版选修11第四章12函数的极值作业1.doc

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y=f(x)的导函数的图像,则正确的判断是( )
①f(x)在(-3,1)上是增函数;
②x=-1是f(x)的极小值点;
③f(x)在(2,4)上是减函数,在(-1,2)上是增函数;
④x=2是f(x)的极小值点.
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
f′(x)的图像知f(x)在[-3,-1]和[2,4]上递减,在[-1,2]上递增,故①不正确,③正确;x=-1是f(x)的极小值点,x=2是f(x)的极大值点.
f(x)=在x=1处取极值,则a=( )


解析:′(x)=,由题意知f′(1)==0,∴a=3.
f(x)=+lnx,则( )
=为f(x)的极大值点
=为f(x)的极小值点
=2为f(x)的极大值点
=2为f(x)的极小值点
解析:′(x)=,由f′(x)=0得x=2,又当x∈(0,2)时,f′(x)<0,当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,∴x=2是f(x)的极小值点.
设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点,则( )
<-1 >-1
>- <-
解析:′=ex+a=0即a=-ex在(0,+∞)上有解,
令f(x)=-ex(x>0),
则f(x)∈(-∞,-1).
∴a=-ex<-1.
f(x)=x3-2ax2+3a2x在(0,1)内有极小值,则实数a的取值范围是( )
A.(0,+∞) B.(-∞,3)
C.(0,) D.
f(x)=x3-2ax2+3a2x,得f′(x)=x2-4ax+3a2,显然a≠0,
由于f′(0)=3a2>0,Δ=16a2-12a2=4a2>0,
依题意,得0<3a<1,f′(1)>0,即0<a<,且1-4a+3a2>0,解得0<a<.即实数a的取值范围是(0,).
f(x)=x·2x在x0处有极小值,则x0等于________.
解析:f′(x)=x·2x·ln2+2x=2x(x·ln2+1).
令f′(x)=0,解得x=-.
答案:-
f(x)=ex-ax在区间(0,1)上有极值,则实数a的取值范围是________.
解析:由题意f′(x)=ex-a=0在(0,1)上有解,∴a=ex∈(1,e).
答案:(1,e)
f(x)=x3-3x2-9x+3,若函数g(x)=f(x)-m在x∈[-2,5]上有3个零点,则m的取值范围为________.
解析:f′(x)=3x2-6x-9,令f′(x)=0得x=-1,x,由题意知,g(x)在[-2,5]上与x轴有三个交点,
∴,解得1≤m<8,即m的取值范围为[1,8).
答案:[1,8)
f(x)=(x-5)2+6lnx的极值.
解:∵f(x)=(x-5)2+6lnx=x2-5x+6lnx+(x>0),
∴f′(x)=x-5+=.
令f′(x)=0,解得x1=2,x2=<x<2或x>3时,f′(x)>0,故f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数;当2<x<3时,f′(x)<0,故f(x)在(2,3)上为减函数.
由此可知,f(x)在x=2处取得极大值f(2)=+6ln2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln3.
已知函数f(x)=x-alnx(a∈R).
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;
(2)当a>0时,求函数f(x)的极值.
解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-.
(1)当a=2时,f(x)=x-2lnx,f′(x)=1-(x>0),
因而f(1)=1,f′(1)=-1,
所以曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),
即x+y-2=0.
(2)由f′(x)=1-=,x>0知:
当a>0时,由f′(x)=0,解得x=a.
又当x∈(0,a)时,f′(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值.
∴当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-alna,无极大值.
[能力提升]
(x)=x3-4x+a,0<af(x)的三个零点为x1,x2,x3,且x1<x2<x3,则( )
>-1 >0
<0 >2
f′(x)=3x2-4=0得x=±.f′(x)=3x2-4<0⇒-<x<;f′(x)=3x2-4>0⇒x<-或x>,所以f(x)在上单调递减,在,上单调递增.
所以f(x)的极大值点为x=-,极小值点为x=,函数y=f(x)的图像如图所示,
故x1<-<-1,x2>0,
由于f()<0,f(2)=a>0,故x3<2.
f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,则f(2)=________.
解析:f′(x)=3x2+2ax+b.∴,解得或.
当时f′(x)=3(x-1)2≥0,∴在x=1处不存在极值;当时,f′(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1),∴当x∈时,f′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,∴符合此题意,∴f(2)=8+16-22+16=18,故答案为18.
答案:18
f(x)=x2+xsinx+cosx.
(1)若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值;
(2)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围.
解:由f(x)=x2+xsinx+cosx,得f′(x)=x(2+cosx).
(1)因为曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,所以f′(a)=a(2+cosa)=0,b=f(a).
解得a=0,b=f(0)=1.
(2)令f′(x)=0,得x=0.
f(x)与f′(x)的变化情况如下:
x
(-∞,0)
0
(0,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
↘
1
↗
所以函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,f(0)=1是f(x)的最小值.
当b≤1时,曲线y=f(x)与直线y=b最多只有一个交点;
当b>1时,f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b,
f(0)=1<b,
所以存在x1∈(-2b,0),x2∈(0,2b),
使得f(x1)=f(x2)=b.
由于函数f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调,所以当b>1时曲线y=f(x)与直线y=b有且仅有两个不同交点.
综上可知,如果曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,那么b的取值范围是(1,+∞).
(x)=x3+ax2+2bx+c,当x∈(0,1)时函数有极大值,当x
∈(1,2)时函数有极小值,试求的取值范围.
解:由已知得f′(x)=x2+ax+2b,由于当x∈(0,1)时函数有极大值,当x∈(1,2)时函数有极小值,
所以方程f′(x)=0的两个根分别在区间(0,1)和(1,2)内,
即函数y=f′(x)的图像如图所示:
所以有
即在平面直角坐标系中画出该不等式组所表示的平面区域,
其中A(-3,1),B(-2,0),
C(-1,0),
设P(a,b)为可行域内一点,D(1,2),
则的几何意义为直线PD的斜率,
由图可知:kAD<kPD<kCD,
故<<1.
即的取值范围是(,1).