线性代数公式大全(2).pdf

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,展开后有n!项,可分解为2n行列式;
:
①、和的大小无关;
Ajaij
②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;
③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A;
:M1)「jAA=(_1)jM
j=(-jij'ij
:
n(n_D
将上、下翻转或左右翻转,所得行列式为,则()2;
DDDt=_1D
(丄
nn
将D顺时针或逆时针旋转:,所得行列式为,则=(一);
90D2D21^D
将D主对角线翻转后(转置),所得行列式为,则;
D3D3=D
将D主副角线翻转后,所得行列式为,则二;
D4D4D
:
①、主对角行列式:主对角元素的乘积;
n(n!)
②、副对角行列式:副对角元素的乘积(-1)F
③、上、下三角行列式(、二):主对角元素的乘积;
n(n_!)
④匚和丄:副对角元素的乘积();
-1F
、
A
⑤、拉普拉斯展开式:=(—1)mnAB
_O
⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;
⑦、特征值;
n
,恒有:七-人=叮八,-1)kS,其中为k阶主子式;
k'2Sk
k±
=0的方法:
①、A;
=-A
②、反证法;
③、构造齐次方程组Ax=0,证明其有非零解;
④、利用秩,证明r(A):n;
⑤、证明0是其特征值;
2、矩阵
:
A=0(是非奇异矩阵);
―r(A)二n(是满秩矩阵)
=A的行(列)向量组线性无关;
=齐次方程组Ax=0有非零解;
Rn,Ax=b总有唯一解;
=A与E等价;
=A可表示成若干个初等矩阵的乘积;
=A的特征值全不为0;
uATA是正定矩阵;
=A的行(列)向量组是Rn的一组基;
A是Rn中某两组基的过渡矩阵;
:AA*二A*A二AE无条件恒成立;
3.(A丄)*=(A*)-(A叩=(AT)丄(A)T=(AT)*
*
(AB)=BTAT(AB)=BA(AB)丄=:B」A-
,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;
,其中均A、B可逆:
若A=A2.,则:
<AsJ
I、A二A民川A|;
_L
H、
(AO
②°—;(主对角分块)
1°
、B丿B匕
2
③
ATB
、=\°」;(副对角分块)
°丿◎
④I'A
卜C]-A1CB
、';(拉普拉斯)
丄丄
B丿=IA
⑤/
、°r;(拉普拉斯)
CB
3、矩阵的初等变换与线性方程组
,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:F=(Er°
2°m«
等价类:所有与A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;对于同型矩
阵A、B,若r(A)=r(B):=ALB;
:
①、只能通过初等行变换获得;
②、每行首个非0元素必须为1;
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;
:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)
r
①、若(A,E)[(E,X),则A可逆,且X=A);
c
②、对矩阵(A,B)做初等行变化,当A变为E时,B就变成A,即:(A,B)、(E,A°B);
r
③、求解线形方程组:对于n个未知数n个方程Ax=b,如果(A,b)[(E,x),则A可逆,且x=A」b;
:
①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;
②、上二.-:-2,左乘矩阵A,,i乘A的各行元素;右乘,r乘A的各列元素;
f1_1r1:
③、对调两行或两列,符号E(i,j),且E(i,j)A=E(i,j),例如:1=1;
b
1
1
④、倍乘某行或某列,符号E(i(k)),且E(i(k))丄,例(kH0);
b
flfl
⑤、倍加某行或某列,符号E(ij(k)),且E(ij(k))-=E(ij(-k)),如:11
:
①、mi);
0_r(Amn)"n(m,n
②、r(AT)=r(A);
③、若AUB,则r(A)=r(B);
④、若P、Q可逆,则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩)
⑤、max(r(A),r(B))_r(A,B)_r(A)r(B);(探)
⑥、r(A-B)乞r(A)r(B);(探)
⑦、r(AB)Zmin(r(A),r(B));(探)
⑧、如果A是mn矩阵,B是ns矩阵,且AB=0U:(
I、B的列向量全部是齐次方程组AX=0解(转置运算后的结论);
n、r(A)r(B)<n
⑨、若A、B均为n阶方阵,则r(AB)_r(A)r(B)—n;
:
①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;
叼ac
②、型如01b的矩阵:利用二项展开式;
Q0b
n
二项展开式:(a+b)n=C:an-+C:an卡十川+|)|":屯1扌*C:bn=迟cnVb^
m-0
注:I、(ab)n展开后有n1项;
n!
n、C
mlL2_3_-''Lmm!(n_m)!
n
『组合的性质:c二二c-CC2rCnC
mmnm^n^n^nl;
r=e
③、禾u用特征值和相似对角化:
:
ir(A)二n
r(A)=n_1;
①、伴随矩阵
r(A):::n-
的秩:
r(A*)
=1b
—(AX=.X,A=AA丄二A*X二-AX);
②、伴随矩阵的特征值:
③、A=AA丄、An丄
*A]=
:
①、r(A)=n,A中有n阶子式不为0,n1阶子式全部为0;(两句话)
②、r(A):::n,A中有n阶子式全部为0;
③、r(A)_n,A中有n阶子式不为0;
:Ax=b,其中A为mn矩阵,则:
①、m与方程的个数相同,即方程组Ax=b有m个方程;
②、n与方程组得未知数个数相同,方程组Ax=b为n元方程;
=b的求解:
①、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换);
②、齐次解为对应齐次方程组的解;
③、特解:自由变量赋初值后求得;
:
ax-aXax^h
122illn
ax-aX2・|||anXn=b
①、212222
I川川I川Illi川IIMI川川川
3X'3x3X
m11m22■III'nmn=bn
■‘Xfb
aaIIIan1"
1112、
aaIIIaxb
②21222n2=2=Ax=b(向量方程,A为mxn矩阵,m个方程,n个未知数)
gm
0ma1)1a丿
1m2mn」
(aaIIIa)X2(全部按列分块,其中0=b);
③、12n
④、耳凡乜二:(线性表出)
2X2J||PnXn
⑤、有解的充要条件:r(A)=r(A,':)_n(n为未知数的个数或维数)
4、向量组的线性相关性
:〉,〉构成nm矩阵A=(〉,〉〉;
12,Hl,:m12,l|l,m)
可,伺」构成mF矩阵B二.
m个n维行向量所组成的向量组B:m
对应;
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一-
2.①、向量组的线性相关、无关二Ax=0有、无非零解;(齐次线性方程组)
②、向量的线性表出Ax=b是否有解;(线性方程组)
③、向量组的相互线性表示=AX=B是否有解;(矩阵方程)
:齐次方程组Ax=0和Bx=0同解;(P例14)
Am01
(ATA)=r(A);(R01例15)
:
①、:-线性相关0;
②、:■,:线性相关u二:坐标成比例或共线(平行);
③、:.,1,线性相关u,■:,共面;
:
若,二s线性相关,则:,|||,:s,;
W2,:1,21
若】,〉川,线性无关,贝U、,:zUl,:丄必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)
121>SS
若r维向量组A的每个向量上添上n-r个分量,构成n维向量组B:
若A线性无关,则B也线性无关;反之若B线性相关,则A也线性相关;(向量组的维数加加减减)
简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;
(个数为r)能由向量组B(个数为s)线性表示,且A线性无关,则r空s(二版耳定理7);向量组
P
A能由向量组B线性表示,则r(A)<r(B);(86定理3)
向量组A能由向量组B线性表示
AX二B有解;
屮PP
二r(A)A,B)(*5定理2)向量组A能由向量组B等价=r(A)=r(B)=r(A,B)($5定理2推
论)
,,使;
Pi,P2l|l,PA=RP2|||R
r
①、矩阵行等价:A~BuPA=B(左乘,P可逆)二Ax二0与Bx二0同解
c
②、矩阵列等价:A~B:=AQ=B(右乘,Q可逆);
③、矩阵等价:A〜PAQ=B(P、Q可逆);
:
Amn
①、若A与B行等价,则A与B的行秩相等;
②、若A与B行等价,则Ax二0与Bx二0同解,且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性;
③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;
④、矩阵A的行秩等于列秩;
,则:
Amssn-Cmn
①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示,B为系数矩阵;
②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示,AT为系数矩阵;(转置)
,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明;
①、ABx==0只有零解;
②、Bx==0一定存在非零解;
,,可由向量组,l|l,线性表示为:(R题佃结论)
Bn:bb2Ul,brAn>s:ai,a210
X
(,,,)(,|l|,)(B二AK)
bdHlbr=a“a2a$K
其中K为sr,且A线性无关,则B组线性无关r(K)=r;(B与K的列向量组具有相同线性相关性
)
(必要性:7r=r(B)=r(AK)<r(K),r(K)<rr(K)=r;充分性:反证法)
注:当r二s时,K为方阵,可当作定理使用;
13.①、对矩阵,存在Q,AQEr(A)二m、Q的列向量线性无关;(P)
Amnnm=m87
②、对矩阵,存在,二()工、P的行向量线性无关;
AmnPnmPA=EnrAn
14.:-1,:'2^l,:-s线性相关
=存在一组不全为0的数,使得山二成立;(定义)
k1,ksK:1k2:2ks:s0
匸
1'
=(骂,0(,1丨1,足)*有非零解,即Ax=0有非零解;
2=0
込丿
s
=r(W川I,W:s,系数矩阵的秩小于未知数的个数;
,则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩为:r(S)二n-r;
=b的一个解,为Ax=0的一个基础解系,则—WUI,二线性无关;(P题33结论)
-1,-2JII,-n_r111
5、相似矩阵和二次型
=E或A丄二AT(定义),性质:
1i_j
①、A的列向量都是单位向量,且两两正交,即aa(i,j=1,2,川n);
:j=/—j
1J0Gj
②、右A为正父矩阵,则A_=A也为正交阵,且|A=1;
③、若A、B正交阵,则AB也是正交阵;
注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化;
:(a川」
,a2I,a
b=a;
b=a_[b,a]|b_[b,a]I[brJ,a].
r2rbr
_L
一[b,bj四_丽''一[b」,b」J
_r1rr
厂
b
,不同特征值对应的特征向量线性无关;对于实对称阵,不同特
征值对应的特征向量正交;
4.①、A与B等价=A经过初等变换得到B;
PAQ=B,P、Q可逆;
ur(A)=r(B),A、B同型;
②、A与B合同=CTAC=B,其中可逆;
xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数;
③、A与B相似=P丄AP=3;
、合同未必相似;
若C为正交矩阵,则CTACB=ALIB,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格);
,则A为二次型矩阵;
:
=A的正惯性指数为n;
=A与E合同,即存在可逆矩阵C,使CTAC=E;
=A的所有特征值均为正数;
=A的各阶顺序主子式均大于0;
-■a0,A0;(必要条件)
ii