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对应学生书P207一、选择题
1((2010?陕西)对于函数(),2sincos,下列选项中正确的是()fxxx
ππ,,A(f(x)在,上是递增的,42,
B(f(x)的图像关于原点对称
C(f(x)的最小正周期为2π
D(f(x)的最大值为2
解析:?f(x),2sinxcosx,sin2x,
?f(x)为奇函数,?f(x)的图像关于原点对称(答案:B
222((2010?安徽)动点A(x,y)在圆x,y,1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12
,,13秒旋转一周,已知时间t,0时,点A的坐标是,则当0?t?12时,动点A的纵坐,,,,,22
标y关于t(单位:秒)的函数的单调递增区间是()A([0,1]B([1,7]C([7,12]D([0,1]和[7,12]
2ππ解析:?T,12,?ω,,.126
ππ,,从而设y关于t的函数为y,sint,φ,且|φ|?.,6,2
π3ππ,,又?t,0时,y,,?φ,,?y,sint,.623,3,
ππππ?当2kπ,?t,?2kπ,,k?Z,即12k,5?t?12k,1,k?Z时,y递增(2632
?0?t?12,?函数y的单调递增区间为[0,1]和[7,12](答案:D
π3(使奇函数f(x),sin(2x,θ),3cos(2x,θ)在[,,0]上为减函数的θ的值为4
()
ππA(,B(,36
1用心爱心专心
解析:?f(x)为奇函数,?f(0),sinθ,3cosθ,0.
?tanθ,,3.
π?θ,kπ,,k?Z,f(x),?
π?()在[,,0]上为减函数,?(),,2sin2,fxfxx4
2π?θ,,
答案:D
4(已知f(x),sinx,3cosx(x?R),函数y,f(x,φ)的图像关于直线x,0对称,
则φ的值可以是()
ππ解析:f(x),2sin(x,),y,f(x,φ),2sin(x,,φ)的图像关于x,0对称,即33
为偶函数(
πππ?,φ,,kπ,φ,kπ,,k?Z,326
π当k,0时,φ,.6
答案:D
π5(设函数f(x),sin(2x,),则下列结论正确的是()3
πA(f(x)的图像关于直线x,对称3
πB(f(x)的图像关于点(,0)对称4
πC(把f(x)的图像向左平移个单位长度,得到一个偶函数的图像12
πD(f(x)的最小正周期为π,且在[0,]上为增函数6
π解析:?f(),0,?A不正确;3
ππ1?f(),cos,?0,?B不正确;432
2用心爱心专心
πf(x)的图像向左平移个单位长度得12
πππf(x),sin[2(x,),],sin(2x,),cos2x,故C正确(1232
答案:C
26((2011?湖南衢阳四校联考)已知函数f(x),(1,cos2x)?sinx,x?R,则f(x)是
()
A(最小正周期为π的奇函数
πB(最小正周期为的奇函数2
C(最小正周期为π的偶函数
πD(最小正周期为的偶函数2
1,cos2x12解析:f(x),(1,cos2x)×,(1,cos2x)22
111,cos4x11,,×x,,,cos422244
2ππ,,,(,),(),故选D.?Tfxfx42
答案:D
7(已知函数f(x),cosxsinx(x?R),给出下列四个命题:?若f(x),,f(x),则x,,x;1212
?f(x)的最小正周期是2π;
ππ?f(x)在区间[,,]上是增函数;44
3π?f(x)的图像关于直线x,对称(4
其中正确的命题是()
A(???B(??C(??D(??
1解析:f(x),sin2x,?f(x)为奇函数(2
若f(x),,f(x),f(,x),即sin(2x),sin(,2x),12212?2x,,2x,2kπ,或2x,(,2x),2kπ,故?不正确,从而淘汰A、,1212
从而淘汰C,选D.
答案:D
3用心爱心专心
38((2010?福州模拟)已知tanα,,,且tan(sinα),tan(cosα),则sinα的值为4
()
33A(,
34C(?D(,55解析:?sinα,cosα?[,1,1],且y,tanx在[,1,1]上递增,
3?sinα,,,,0,4
3?sinα,0,且cosα,0.?sinα,,
答案:B
二、填空题
2π2π9(若函数f(x),2sinωx(ω,0)在[,,]上单调递增,则ω的最大值为33
__________(
TTTTT2π2π2π解析:?f(x)在[,,]上递增,故[,,]?[,,],即?.44334443
33?ω?.?ω,.max44
3答案:4
π10(若f(x),Asin(ωx,φ),1(ω,0,|φ|,π)对任意实数t,都有f(t,),f(,3
ππt,),记g(x),Acos(ωx,φ),1,则g(),
ππ解析:?f(t,),f(,t,),33
π即y,f(x)的图像关于直线x,对称,3
π?sin(ω,φ),?
4用心爱心专心
ππ?ω,φ,,
πππ?g(),Acos(ω,φ),1,Acos(,kπ),1,,
答案:,1
4411((2011?江苏常州模拟)下列五个命题:?y,sinx,cosx的最小正周期是π;?
kπ终边在y轴上的角的集合是{x|x,,k?Z};?在同一坐标系中,y,sinx的图像和y,x2
ππ的图像有三个公共点;?y,sin(x,)在[0,π]上是减函数;?把y,3sin(2x,)的图23
π像向右平移得到y,3sin2x的图像(其中真命题的序号是__________(6
π解析:?y,,cos2x,周期为π;?终边在y轴上的角应为x,,kπ,k?Z;?y2
π,sinx和y,x图像交点只有一个,?当0,x,时,x,sinx恒成立;?y,,cosx在[0,2
πππ]上单调递增;?y,3sin[2(x,),],
答案:??
π,,12((2010?沈阳高三质检)若f(x),2cos(ωx,φ),m,对任意实数t都有ft,,4,,
π,,f(,t),且f,,1,则实数m的值等于__________(,8,
π,,解析:?对任意实数t都有ft,,f(,t),,4,
π?函数y,f(x)的图像关于直线x,对称(8
π,,又f,,1,故2,m,,1,或,2,m,,1,,8,
解得m,,3,或m,1.
答案:,3或1
三、解答题
213((2010?天津)已知函数f(x),23sinxcosx,2cosx,1(x?R)(
π,,(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间0,上的最大值和最小值;,2,
6ππ,,(2)若f(x),,x?,,求cos2x的值(0005,42,
2解析:(1)由f(x),23sinxcosx,2cosx,1,得
5用心爱心专心
2f(x),3(2sinxcosx),(2cosx,1)
,3sin2x,cos2x
π,,,2sin2x,.,6,
可知函数()
ππππ,,,,,,因为f(x),2sin2x,在区间0,上为增函数,在区间,上为减函数,又,6,,6,,62,
πππ,,,,,,f(0),1,f,2,f,,1,所以函数f(x)在区间0,上的最大值为2,最小值为,6,,2,,2,
,1.
π,,(2)由(1)可知,f(x),2sin2x,.00,6,
6π3,,因为f(x),,所以sin2x,,.005,6,5
ππ2π7ππ,,,,由x?,,得2x,?,.00,42,6,36,
ππ42,,,,从而cos22x,,,1,sinx,,,.00,,,,665
ππ,,,,cos2x,cos2x,,00,,66,,,,
ππππ,,,,,cos2x,cos,sin2x,sin00,6,6,6,6
3,43,.10
ππ11,,,,14((2010?湖北)已知函数f(x),cos,xcos,x,g(x),sin2x,.,3,,3,24
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数h(x),f(x),g(x)的最大值,并求使h(x)取得最大值的x的集合(
ππ,,,,,,解析:(1)因为f(x),cosxcosx33,,,,,,,,1133,,,,,cosx,sinxcosx,sinx,,,,2222
131,cos2x3,3cos2x22,cosx,sinx,,4488
11,cos2x,,24
2π所以函数f(x)的最小正周期为,
6用心爱心专心
112π,,(2)h(x),f(x),g(x),cos2x,sin2x,cos2x,.222,4,
π2当2x,,2kπ(k?Z)时,h(x)
π()取得最大值时,对应的的集合为{|,π,,?Z}(hxxxxkk8
215((2010?杭州质检)已知函数f(x),2sinxcosx,2cosx(x?R)(
(1)求f(x)的最小正周期,并求f(x)的最小值;
πππ,,,,(2)令g(x),fx,,1,若g(x),a,2对于x?,,恒成立,求实数a的取,8,,63,
值范围(
π2π,,解析:(1)f(x),sin2x,cos2x,1,2sin2x,,1,其最小正周期是T,,π.,4,2
ππ3ππ,,又当2x,,,,2kπ,即x,kπ,(k?Z)时,sin2x,取得最小值,1,从428,4,
3π而函数f(x)的最小值是1,2,此时x的集合为{x|x,kπ,,k?Z}(8
πππ,,,,,,(),,,1,2sin2,,(2)gxfxx,,,8,,8,4,,
π,,,2sin2x,,2cos2x.,2,
πππ2π1,,,,,,由x?,,,得2x?,,,则cos2x?,,1,,63,,33,,2,
,,2于是g(x),2cos2x?,,.,,2,,2
ππ,,若g(x),a,2对于x?,,恒成立,63,,
则a,2,g(x),2,得a,2,
7用心爱心专心