文档介绍：《高等代数》论文
学院:理学院
班级:数学1202
姓名:童立夏
学号:20122507
指导教师:赵芬霞
线性代数在实际问题中的应用
数学类1202班童立夏学号20122507
内容摘要:线性代数作为数学的一个重要的分支,具有较强的逻辑性、抽象性和较强的实用性。线性代数是以矩阵、线性空间结构及线性变换为基本研究对象,其核心是研究线性代数方程组解的情况以及如何更快地求解线性方程组、线性空间结构及线性变换。线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中:通过解析几何,线性代数得以被具体表示。本文通过一些实例讨论线性代数在实际问题中的应用,说明线性代数理论的应用意义及方法从而使抽象的线性代数理论更直接、更形象。
关键词:线性代数、应用、矩阵、行列式
导言:线性代数主要研究有限维线性空间中的线性关系和线性映射,具有代数学的实用性和抽象性特点。线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中各有重要地位,本文将给出几个典型的应用实例,包括矩阵、行列式、线性组合等几个部分的应用以及线性组合在经济领域、数学建模中的应用,在解决问题的过程中引出概念和方法。
线性代数在经济领域中的应用
行列式是线性代数的重要组成部分,它是解决线性方程组的常用工具,而线性方程组在经济领域的应用比较广泛。
实例:成本问题。
某些产品在生产过程中能获得另外几种产品或副产品,但是对每种产品的单位成本难以确定,这类问题可以通过几次测试,列出方程组求解。例如:
在一次投料生产中能获得四种产品,每次测试的总产品如表一所示,试求每种产品的单位成本。
解:设A、B、C、D四种产品的单位成本分别为x1、x2、x3、x4,可列出方程组
将方程化简如下:
运行行列式解得:x1=10,x2=5,x3=3,x4=2,所以A、B、C、D四种产品的单位成本分别为10 元/公斤,5元/公斤,3元/公斤,2元/公斤。
表一
产品(公斤)
批次总成本(元)
A B C D
第一批生产 200 100 100 50 2900
第二批生产 500 250 200 100 7050
第三批生产 100 40 40 20 1360
第四批生产 400 180 160 60 5500
在线性代数等数学理论与方法的帮助下经济理论的研究工作取得了很大的进展,使人们对经济规律认识的精确性有了明显提高。数学方法,特别是线性代数步入经济科学的领域,成为分析、研究社会经济现象发展服务的有力工具。
二、线性代数在数学建模中的应用
给出四个城市A、B、C、D,现在想作一次旅游,方式为:先做火车后坐汽车。即从第一个城市坐火车到第二个城市,然后从第二个城市坐汽车到第三个城市。那么在哪两个城市之间才能作一次使用两种交通工具(先坐火车后坐汽车)的旅行?四个城市之间的火车交通线路如图1所示;汽车交通线路情况如图2所示;反映火车和汽车的交通线路情况如图3所示。
图2 汽车交通路线
C
A
C
B B
图1 火车交通路线
A
B
D
分析:火车交通线路情况、汽车交通线路情况可以用矩阵S,T来描述:
S=
代表坐火车可以从哪个城市到哪个城市
T=
代表坐汽车可以从哪个城市到哪个城市
A
B
C
D
图3 火车和汽车交通路线
从图3可以看出,可以