文档介绍：泛函分析中的概念和命题
赋范空间,算子,泛函
定理:赋范线性空间是有限维的当且仅当它的单位球是列紧的;有限维赋范线性空间上的任两个范数是等价的;有限维赋范线性空间是Banach空间.
定理:是赋范线性空间的一个真闭线性子空间,则使得:
定理:设是赋范线性空间,是上的线性泛函,则
1.
2.
定理:
可分B空间: 不可分
Hahn-Banach泛函延拓定理
设为线性空间,,若:
(1)
(2)
(3)
实Hahn-Banach泛函定理: 设是实线性空间,是定义在上的次可加正齐性泛函,是的线性子空间,是定义在上的实线性泛函且满足,则必存在一个定义在上的实线性泛函,且满足:
1.
2.
复Hahn-Banach泛函定理: 设是复线性空间,是定义在上的次可加对称泛函,是的线性子空间,是定义在上的线性泛函且满足,则必存在一个定义在上的线性泛函,且满足:
1.
2.
定理: 设是线性空间, 若, 则在上必存在非零线性泛函。
Hahn-Banach延拓定理: 设是赋范线性空间, 是的线性子空间,是定义在上的有界线性泛函,则必存在一个定义在上的有界线性泛函,满足:
1.
2.
定理:设是赋范线性空间,是的线性子空间,则必有
,满足:
(1)
定理:设是赋范空间,
定理:设是赋范空间,
凸集分离定理
极大线性子空间:一个线性空间的子空间,真包含它的线性空间是全空间
超平面:它是线性空间中某个极大线性子空间对某个向量的平移,也称极大线性流形
承托超平面:承托超平面
Minkowski泛函:
取值于的函数:
与对应,称函数为的Minkowski泛函
定理:是赋范空间的(闭)超平面存在上的非零(连续)线性泛函及
Hahn-Banach定理的几何形式: 设是赋范空间,是的具有内点的真凸子集,又设
定理:设是赋范空间,则
Ascoli定理:设是赋范空间,是的真闭凸子集,则适合
Mazur定理:设是赋范空间,是的一个有内点的凸子集,是的一个线性流形,又设
定理:设是赋范空间,是的一个含有内点的闭凸集,则通过的每个边界点都可以作出的一个承托超平面
基本定理
定理:
开映射定理:
Banach逆算子定理:
等价范数定理:设是线性空间,和是上的两个范数,若关于这两个范数都成为Banach空间,而且强于,则也强于,从而和等价
闭算子:若的图像是赋范线性空间中的闭集,则称是闭映射或闭算子
闭算子判别定理:设是赋范空间,
若
闭图像定理:,而且是闭算子,若
是的闭线性子空间,则是连续的
定理:,则连续是闭算子
共鸣定理:是赋范空间,如果,都有
自反空间与共轭算子
除声明外下面的都是一般的赋范线性空间
共轭空间:
伴随算子:
1.
2.
3.
4.
定理:若;是Banach空间,
自反空间的闭线性子空间是自反空间
自然嵌入映射是赋范空间到的保范的有界线性算子,即:
Riesz表示定理:设X是局部紧空间,
若上的正线性泛函,则存在X上一个正则Borel测度u,使得对任都有
若,则存在X上一个广义正则Borel测度u,使
若是X上具有紧支集的复连续函数空间,则对上任一有界复线性泛函,存在复正则Borel测度u,使
弱收敛和弱列紧
基本概念:弱收敛;算子列的一致收敛,强收敛,弱收敛;泛函列的*弱收敛;
弱列紧;局部弱列紧;*弱列紧;局部*弱列紧
定理:设
1.
2.
定理:设
1.
2.
定理:设
1.
2.
定理:设则存在由的凸组合构成的点列使其强收敛到,且
定理:可分赋范空间的共轭空间是局部*弱列紧的;自反空间是局部弱列紧的
Hilbert Space
基本概念:除声明外下面所涉及的空间都是Real plex Hilbert Space X
内积:一个(数域K上)线性空间上的内积指的是共轭双线性泛函:,它满足正定性和共轭对称性。内积空间:定义了内积的线性空间。定义了内积的复(实)线性空间称为复(实)内积空间。内积导出的范数满足平行四边形公式。内积(按内积导出的范数),这样的内积空间称为Hilbert空间
定理:设是内积空间,是由内积导出的范数,则与满足如下关系:当是实线性空间时,
当是复线性空间时,
极化恒等式:,
定理:为了在赋范线性空间中引入内积,使得由导出的范数就是,当且仅当满足平行四边形公式:
定理:设是内积空间,是的非空子集,,则
1. 2.
3. 4.
5. 6.
定理:设是希尔伯特空间,是的非空闭凸子集,则,使得
正交分解定理:设是希尔伯特空间的一个闭线性子空间,,存在唯一的正交分解: