文档介绍：泛函分析中的概念和命题
泛函分析中的概念和命题
赋范空间，算子，泛函
定理：赋范线性空间是有限维的当且仅当它的单位球是列紧的；有限维赋范线性空间上的任两个范数是等价的；有限维赋范线性空间是Banach空间.
定理：M是赋范线性空间X, | | ||的一个真闭线性子空间，贝0
0, y X, | |y| 1,使得：||y x|| 1 , x M
定理：设X是赋范线性空间，f是X上的线性泛函，则
f X* N f (x X|f x 0｝是X的闭线性子空间
非零线性泛函f x是不连续的N f在X中稠密
定理：X, Y是赋范空间，X ｛｝，则Y是Banach空间 B X, Y 是Banach空间X, Y, Z 是赋范空间，A B ,B Y,Z，则 AB B X, Z，且 |A| | | |B| | 可分 B
空间：LP 0, 1 , Ip 1 p , c, cO, C a, b 可分 L 0, 1 , 1 不可分
Hahn-Banach泛函延拓定理
设X为线性空间，p是定义在X上的实值函数，若:
(Dp x y p x p y , x, y X ，则称p为次可加泛函
p x p x , 0, x X ,则称p为正齐性泛函
p x | |p x , K, x X ,则称p为对称泛函
实Hahn-Banach泛函定理：设X是实线性空间，p x是定义在X上的次可加正齐性泛函，X0是X的线性子空间，f0是定义在X0上的实线性泛函且满足
f0 x p x x X0 ，则必存在一个定义在X上的实线性泛函f,且满足：
f0 x p x x X
f x f0 x x X0 1
复Hahn-Banach泛函定理：设X是复线性空间，p x是定义在X上的次可加对称泛函，X0是X的线性子空间，f0是定义在X0上的线性泛函且满足
|f0 x | p x x X0 ,则必存在一个定义在X上的线性泛函f,且满足：
2. f x
fO x
x XO
定理：设X是线性空间，若X { },则在X上必存在非零线性泛函。
Hahn-Banach延拓定理：设X是赋范线性空间，X0是X的线性子空间，fO是定义在X0 上的有界线性泛函，则必存在一个定义在X上的有界线性泛函f,满足：
f| I f0||xo
f x fO x x XO
定理：设X是赋范线性空间，M是X的线性子空间，xO X, xO,M d 0,则必有 f X*,满足：
(l)f x 0, x M； (2)f xO d； (3) | |f | 1
定理：设X是赋范空间，xO X ( }，必f X*,使f xO | |x0| I, | |f| | 1定理：设 X 是赋范空间，xO X,必有 | | xO | | sup{|f(xO) | : f X*,||f|| 1}
凸集分离定理
极大线性子空间：一个线性空间的子空间，真包含它的线性空间是全空间
超平面：它是线性空间中某个极大线性子空间对某个向量的平移，也称极大线性流形承托超平面：凸集E在点xO的承托超平面L是指E在L的一侧，且与L有公共点xO
M是X的含有点的凸子集，在X上作一个Minkowski泛函：设X是线性空间，
取值于［0, ］的函数：P x inf( 0
与M对应，称函数p为M的Minkowski泛函
定理：L是赋范空间X的(闭)超平面存在X上的非零(连续)线性泛函f及
x M}, x X 2r R,使 L HrHr
f,其中 f {x X|f x r}
Hahn-Banach定理的几何形式：设X是赋范空间，E是X的具有内点的真凸子集，又设 xO X E,则必存在一个超平面分离E与xO
定理：设X是赋范空间，E和F是X的两个非空凸集，则E具有内点，且E0 F ；
s R及f X* { }，使得超平面HsE和F f分离
Ascoli定理：设X是赋范空间，E是X的真闭凸子集，则xO X E, f X*, R适合 f x f xO , x E
Mazur定理：设X是赋范空间，E是X的一个有内点的凸子集，F是X的一个线性流形，又设EO F ，则存在一个包含F的闭超平面L,使E在L的一侧
定理：设X是赋范空间，E是X的一个含有内点的闭凸集，则通过E的每个边界点都可以作出E的一个承托超平面
基本定理
定理：设X,Y是Banach空间，T B X, Y是满射，则 0,使得
TB , 1 0 , 开映射定理：设X,Y是Banach空间，T B X, Y是满射，则T
是开映射
Banach逆算子定理：设X, Y是Banach空间，T B X, Y 是双射，则T 1 B X, Y 等价范数定理：设X是线性空间，|| | 11和| |