文档介绍：线性方程组解的判定与求解
线性方程组的解法
我们学****过用Gramer法则解形如
的线性方程组,也讨论过齐次线组

事实上,方程组(1)
与之对应的齐次线性方程组(2)
都可以用矩阵形式表示为: AX=B(1)
AX=0(2)
A为n阶系数矩阵,X为未知数矩阵,B为常数矩阵
非齐次线性方程组AX=B(1)当时,方程组(1)有唯一解; 当而对应的替代行列式不全为0时,方程组(1)无解;
当而对应的替代行列式全为0时,方程组(1)有无穷多个解;对于齐次线性方程组AX=0
当时,方程组(2)有唯一零解;
当时,方程组(2)有非零解;
以上结论都是相对于n阶线性方程组来说的,而对于未知数个数与方程个数不同的线性方程组,我们有下列的讨论一般线性方程组及其解法
线性方程组的一般形式:

矩阵表示:AX=B
其中
请注意它们的行数、列数
对应的齐次线性方程组 AX=0 其中
下面通过例题,来学****一般线性方程组的解法,这种方法,.
线性方程组有解的判定条件
定理一 n元其次方程组x=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩
证必要性设方程组有非零解,
设,则在A中应有一个n阶非零子式从而所对应的n个方程只有零解(根据克拉默定理),这与原方程组有非零解相矛盾,
不能成立。即。
充分性
则A的行列梯形矩阵只含r个非零行,从而知其有n-r个自由未知量,任取一个自由未知量为1,其余自由未知量为0,
即可得方程组的一个非零解。
定理2n元非其次线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵的秩
证必要性设方程组有解
设,则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程0=1,
则
充分性设
设
则B的行阶梯形矩阵中含r个非零行,把这r行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量,其余的个为未知量,并令个为未知量全为0,即可得到方程的一个解.
例用消元法解线性方程组
解将系数矩阵与常数列矩阵排在一起
称为线性方程组的增广矩阵A,记为:
高斯消元法解线性方程组,实际就是对增广矩阵作
行初等变换