文档介绍：Ζ
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2001 年第 7 期数学通讯 92
一个条件不等式的应用与推广
康建伟孙建斌
(永春三中,福建泉州 362609) (永春县科委,福建泉州 362600)
中图分类号:O122. 3 文献标识码:A 文章编号:0488 - 7395 (2001) 07 - 0029 - 02
定理 1 设 a , b ∈R + ,且 a + b = 1 , 1
组的解为: x = y = , 此处巧用了定理 1 及
1 1 2
则 ab + ≥4 . 1
ab 4 ≥4.
1 xy
(当且仅当 a = b = 时,等号成立)
2 例 2 若 a , b ∈R + , a + b = 1 , 则( a +
1 1 1 1 1
证 ab + ≥4 ) ( b + ) ≥6 .
ab 4 2 b2 2 a2 4
4 a2 b2 - 17 ab + 4 ≥0
1 1 1 1 1
证左= ab + · + ( + )
(4 ab - 1) ( ab - 4) ≥0 ; 4 ab ab 2 a b
a + b 1 1 1 4
∵ ab = ( ab) 2 ≤( ) 2 = , ≥ab + ·4 + ·
2 4 4 ab 2 a + b
1 1
∴4 ab ≤1 ,而又知 ab ≤< 4 , = ( ab + ) + 2
4 ab
故(4 ab - 1) ( ab - 4) ≥0 成立, 1 1
≥4 + 2 = 6 .
1 1 4 4
即 ab + ≥4 获证.
ab 4 注:此处巧用了定理 1 以及熟知不等式
1 1 1 1 1 4
1 巧用 ab + ≥4 解题≥4 , + ≥.
ab 4 ab a b a + b
+
例 1 设 x , y ∈R ,解方程组例 3 若 x , y ∈R + , 且 x + y = 1 , 试求
x + y = 1 , 1 1
函数 f ( x , y) = x + + y + 的最小
3 3 x y
(2 x + ) (2 y + ) = 49.
y x 值.
9 1 1
解考察 49 = 4 xy + + 12 = 4 ( xy + 解 f 2 = ( x + y ) + ( + ) +
xy x y
1 1 1 1 1 4
) + 5· + 12 ≥4·4 + 5·4 + 12 = 49 ,可 2 ( x + ) ( y + ) ≥ 1 + +
xy xy 4 x y x + y
1 1
见当 x = , y = 时, 等号成立, 故原方程 1 x y
2 2 2 ( xy + ) + ( + ) ≥ 1 + 4 +
xy y x
收稿日期:2000 - 12 - 04
作者简介:康建伟(1969~) ,男,福建永春人,永春三中一级教师.
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03 数学通讯 2001 年第 7 期
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2 4 + 2 = 10 , (注:此处,由 ab ≤知, 64 a b ≤1 , 且
4 4
1
1 a3 b3 ≤< 64 , 因而有: ( 64 a3 b3 - 1) ( a3