文档介绍：关于微积分
当谈到微积分时我心里充满了惶恐与不安,仿佛是一道跃不过去的坎,横亘在心头,久久不能淡去。然而,我心里又会充溢着兴奋与好奇,仿佛走进了一个闻所未闻但又似曾相识的神秘世界,让人欲罢不能。
让我们回溯到300年前,近代最伟大的物理学家之一,牛顿,为了方便物理学上的计算,创造了微积分,从而引发了一场伟大的数学进步。(这里先不提莱布尼兹。)
然而,牛顿的微积分理论漏洞百出,遭到过不少数学家的质疑和抨击。但它在实际计算中的确又非常有用,于是就有数学家开始去证明、完善这套理论,从而逐渐形成了现在比较成熟的微积分理论体系。
这里我们可以发觉一件有趣的现象,就是当你回过头去看牛顿的微积分,你会发现其实它一开始就大体上是对的,只不过牛顿不能或者没精力、没兴趣去证明它们,而数学家批评了半天,证明了半天,去无奈的发现牛顿是对的,这就让他们很不爽。不过不爽归不爽,微积分还是非常有用,于是就一直用了下来……
然而最引起我兴趣的以下内容,有关于集合论:
不知道你学没学过线性代数(窃以为你没学过的哦,而且相信你的高等数学不会涉及太多关于代数的内容),你也许会问,代数与微积分有什么关系吗?我说有的,而且从某些方面来讲,微积分只是代数的一小部分,这是因为你可以把微积分看作是一个定义在实数域或者复数域(这都是数集合)的一类特殊的映射(变换)。从更深层次的意义上来讲,可以把整个数学的基础归咎于代数意义上的集合,而事实也确实如此。然而,这也许正是数学本身最大的隐疾吧。关于集合的理论就是集合论,它就像是日本的富士山一样,承载起数学这片伟大而广袤的森林,但同时,随时可能出现的火山爆发也可以在某天将整个数学之林摧毁。
此时的你还不必惶恐与疑虑,因为接下来我会更直观的向你解释这一点。
现在我们来看个例子,假设集合A={1,2,3},我们可以说1A,2A,3A,但我们能不能说AA呢?显然你会回答不能。请说对的,对!哈哈。那如果集合A={1,2,3,A},AA是不是就成立了呢?(你能理解,OK?)
那现在我们把所有的集合分成两类,
① M={ A | AA }
② N={ A | AA }
那现在问题来了,你说这个集合N属于那一类呢?
若NM,由M的定义,NN,但由N的定义,NN,矛盾;
若NN,则符合M的定义,则NM,同样推出矛盾。
这样就出现了一个不可消除的矛盾,罗素悖论,并由此引发了第三次数学危机。因为当一个理论体系内部可以推出矛盾时,从其中推出任何东西都是对的。
好了,当你还沉浸在上述疑惑与思考中时,已有许多个类似的问题摆在人们面前,一个不容否认的事实已经出现,那就是,数学的根基是不牢固的,巍峨的数学大厦竟然是一座摇摇欲坠的空中楼阁,随时可能以我们不愿相信的方式轰然倒塌!
这是一个多么可悲的事实啊………………
然而,数学家就是数学家,当有困难挡在他们面前时,他们总有办法去克服。只不过这一次,他们选择了“回避”。
于是康托尔(好像是他来着)的集合论里,只承认情况②是“集合”,即形如M的不能算是集合,这也就给集合重新划出了一个范围。同时,针对尚存在漏洞的集合论,数学界掀起了一场公理化运动。所谓公理化,即无条件的(不加证明和推理的)承认几条公理,然后由这几条公理出发,经过严格的逻辑推理、推导形成一个严密的数学理论体系。
表面上看公理化,似乎化解了那些