文档介绍：这里入选原则是必须配得起“经典”二字。知识范围要求不超过大二数学系水平,
尽量限制在实数范围内,避免与课本内容重复。排名不分先后。
1)开普勒定律与万有引力定律互推。绝对经典的问题,是数学在实际应用中的光辉典范,其对奠定数学科学女皇的地位起着重要作用。大家不妨试试,用不着太多的专
业知识,不过很有挑战性。重温下牛顿当年曾经做过的事,找找当牛人的感觉吧,这个问题是锻炼数学能力的好题!
2)最速降线问题。该问题是变分法中的经典问题,不少科普书上也有该问题。答案是摆线(又称悬轮线),关于摆线还有不少奇妙的性质,如等时性。其解答一般变分
书上均有。本问题的数学模型不难建立,即寻找某个函数,它使得某个积分取最小值。这个问题往深层次发展将进入泛函领域,什么是泛函呢?不好说,一个通俗的解释是“函数的函数”,即“定义域”不是区间,而是“一堆”函数。最速降线问题通过引入光的折射定律可以直接化为常微分方程,大大简化了求解过程。不过变分法是对这类问题的一般方法,尤其在力学中应用甚广。
3)曲线长度和曲面面积问题。一条封闭曲线,所围面积是有限的,但其周长却可以是无限的,比如02年高中数学联赛第14题就是这样一条著名曲线-----雪花曲线。
如果限制曲线是可微的,通过引入内折线并定义其上确界为曲线长度。但把这个方法搬到曲面上却出了问题,即不能用曲面的内折面的上确界来定义曲面面积。,说明即使像直圆柱面这样的简单的曲面,也可以具有面积任意大的内接折面。
4)处处连续处处不可导的函数。长久以来,人们一直以为连续函数除了有限个或可数无穷个点外是可导的。但是,魏尔斯特拉斯给出了一个函数表达式,该函数处处连续却处处不可导。这个例子是用函数
级数形式给出的,后来不少人仿照这种构造方式给出了许多连续不可导的函数。现在教材中举的一般是范德瓦尔登构造的比较简单的例子。至于魏尔斯特拉斯那个例子,可以在齐民友的《重温微积分》中找到证明。其实上面那个雪花曲线也是一条处处连续处处不可导的曲线。
5)填满正方形的连续曲线。数学总是充满神奇与不可思议,以前人们总是以为曲线是一维的,但是皮亚诺却发现了一条可以填满正方形的连续曲线。结果人们不得不重新审视以往对曲线的看法。
BTW:先写到这里,明天接着写另外5个。1345中的例子可以在《数学分析新讲》中找到。
6)重积分变量替换定理。该定理可以说是数学分析中比较大的一个定理,选择它的理由是因为其具有微积分的显著特征,即用一般化的通法代替特殊化技巧性的方法。微积分的出现解决了不少以前从为解决的
难题,使数学一般化了。比如求面积,你不再像以往那样使用特殊的分割技巧,然后求和求极限了,而且范围也更广泛了。
7)泰勒级数和傅立叶级数是如何发现的。注意这里是发现,而不是证明。教材中对于一个定理,往往是直接列出定理,接着证明,最后举例。但是对于数学思想阐述不够,尤其是对定理的“发现”过程介绍甚少,而这和定理本身同样重要。泰勒级数和傅立叶级数源自于人们这样朴素的思想,即用简单函数表示复杂函数。而人们所熟悉的简单函数要数幂函数(整数次)和三角函数了。泰勒级数来自泰勒多项式,而后者是泰勒从牛顿差分法中得到的,而且非常不严密。傅立叶级数是傅立叶用分离变量法解热传导方程(二阶抛物型偏微分方程)时得到的。此前欧拉等