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第一讲 函数、极限、连续
1、根本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。
2、函数的性质，奇偶性、有界性
奇函数：，图像关于原点对称。
偶函数：，图像关于y轴对称
3、无穷小量、无穷大量、阶的比拟
设是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，那么
〔1〕假设，那么是比高阶的无穷小量。
〔2〕假设〔不为0〕，那么与是同阶无穷小量
特别地，假设，那么与是等价无穷小量
〔3〕假设，那么与是低阶无穷小量
记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。
4、两个重要极限
〔1〕
使用方法：拼凑 ，一定保证拼凑sin后面和分母保持一致
〔2〕
使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。
5、
2
的最高次幂是n,的最高次幂是m.,只比拟最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。,以相同的比例趋向于无穷大；，分母以更快的速度趋向于无穷大；，分子以更快的速度趋向于无穷大。
7、左右极限
左极限：
右极限：
注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。
8、连续、间断
连续的定义：
或
间断：使得连续定义无法成立的三种情况
记忆方法：1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等
9、间断点类型
〔1〕、第二类间断点：、至少有一个不存在
〔2〕、第一类间断点：、都存在
注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点〞，左右只要有一个不存在，就是“第二类〞然后再判断是不是第一类间断点；左右相等是“可去〞，左右不等是“跳跃〞
10、闭区间上连续函数的性质
最值定理：如果在上连续，那么在上必有最大值最小值。
零点定理：如果在上连续，且，那么在内至少存在一点，使得
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第三讲 中值定理及导数的应用
罗尔定理
如果函数满足：〔1〕在闭区间上连续；〔2〕在开区间〔a,b〕内可导；〔3〕，那么在(a,b)内至少存在一点，使得
b
记忆方法：脑海里记着一幅图：
拉格朗日定理
如果满足〔1〕在闭区间上连续
〔2〕在开区间〔a,b〕内可导；
那么在(a,b)内至少存在一点，使得
脑海里记着一幅图：
〔*〕推论1 ：如果函数在闭区间上连续，在开区间〔a,b〕内可导，且，那么在内=C恒为常数。
记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为0。
〔*〕推论2：如果在上连续，在开区间内可导，且，那么
记忆方法：两条曲线在每一点切线斜率都相等
驻点
4
满足的点，称为函数的驻点。
几何意义：切线斜率为0的点，过此点切线为水平线
4、极值的概念
设在点的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点x,有，那么称为函数的极大值，称为极大值点。
设在点的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点x,有，那么称为函数的极小值，称为极小值点。
记忆方法：在图像上，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。
拐点的概念
连续曲线上，凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点，称为曲线的拐点。
注在原点即
是拐点
单调性的判定定理
设在内可导，如果，那么在内单调增加；
如果，那么在内单调减少。
记忆方法：在图像上但凡和右手向上趋势吻合的，是单调增加，；
在图像上但凡和左手向上趋势吻合的，是单调减少，；
取得极值的必要条件
可导函数在点处取得极值的必要条件是
取得极值的充分条件
第一充分条件：
设在点的某空心邻域内可导，且在处连续，那么
如果时，; ,那么在处取得极大值；
如果时，；，那么在处取得极小值；
如果在点的两侧，同号，那么在处没有取得极值；
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记忆方法：在脑海里只需记三副图，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。
第二充分条件：
设函数在点的某邻域内具有一阶、二阶导数，且，
那么 〔1〕如果，那么在处取得极大值；
〔2〕如果，那么在处取得极小值
凹凸性的判定
设函数在内具有二阶导数，〔1〕如果，那么曲线在内凹的；〔2〕如果，那么在内凸的。
图像表现：
凹的表现 凸的表现
渐近线的概念
曲线在伸向无穷远处时，能够逐步逼近的直线，称为曲线的渐近线。
水平渐近线：假设,那么有水平渐近线
(2) 垂直渐近线：假设存在点，，那么有垂直渐近线
求斜渐近线：假设，那么为其斜渐近线。
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洛必达法那么
遇到“〞 、“〞，就分子分母分别求导，直至求出极限。
如果遇到幂指函数，需用把函数变成“〞 、“〞。
第二讲 导数与微分
导数的定义
〔1〕、
〔2〕、
〔3〕、
注：使用时务必保证后面和分母保持一致，不一致就拼凑。
导数几何意义：在处切线斜率
法线表示垂直于切线，法线斜率与乘积为—1
导数的公式，记忆的时候不仅要从左到右记忆，还要从右到左记忆。
求导方法总结
〔1〕、导数的四那么运算法那么
〔2〕、复合函数求导：
是由与复合而成，那么
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〔3〕、隐函数求导
对于，遇到y，把y当成中间变量u，然后利用复合函数求导方法。
〔4〕、参数方程求导
设确定一可导函数，那么
(5) 、对数求导法
先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导
〔6〕、幂指函数求导
幂指函数，利用公式
然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可。
第二种方法可使用对数求导法，先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导
注：优选选择第二种方法。
高阶导数
对函数屡次求导，直至求出。
微分
记忆方法：微分公式本质上就是求导公式，后面加，不需要单独记忆。
可微、可导、连续之间的关系
可微可导
可导连续，但连续不一定可导
可导与连续的区别。
脑海里记忆两幅图
〔1〕 〔2〕
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在x=0既连续又可导。 在x=0只连续但不可导。
所以可导比连续的要求更高。
第四讲 不定积分
原函数与不定积分
原函数：假设，那么为的一个原函数；
不定积分：的所有原函数+C叫做的不定积分，记作
不定积分公式
记忆方法：求导公式反着记就是不定积分公式
三、不定积分的重要性质
1、
2、
注：求导与求不定积分互为逆运算。
积分方法
根本积分公式
第一换元积分法〔凑微分法〕
把求导公式反着看就是凑微分的方法，所以不需要单独记忆。
第二换元积分法
三角代换
三角代换主要使用两个三角公式：
分部积分法
第五讲 定积分
1、定积分定义
如果在上连续，那么在上一定可积。
理解：既然在闭区间上连续，那么在闭区间上形成的就是一个封闭的曲边梯形，面积存在所以一定可积，因为面积是常数，所以定积分如果可积也是常数。
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2、定积分的几何意义
如果在上连续，且，那么表示由，x轴所围成的曲边梯形的面积。S=。
如果在上连续，且， S=。
3、定积分的性质：
〔1〕
〔2〕=
〔3〕
〔4〕
〔5〕如果，那么
〔6〕设m,M分别是在的min, max,那么
M
m
记忆：小长方形面积曲边梯形面积大长方形面积
〔7〕积分中值定理
如果在上连续，那么至少存在一点，使得
记忆：总可以找到一个适当的位置，把凸出来的局部切下，剁成粉末，填平在凹下去的局部使曲边梯形变成一个长方形。
称为在上的平均值。
积分的计算
〔1〕、变上限的定积分
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注：由此可看出来是的一个原函数。而且变上限的定积分的自变量只有一个是而不是t
〔2〕、牛顿—莱布尼兹公式
设在上连续，是的一个原函数，那么
由牛顿公式可以看出，求定积分，本质上就是求不定积分，
只不过又多出一步代入积分上下限，所以求定积分也有四种方法。
奇函数、偶函数在对称区间上的定积分
〔1〕、假设在上为奇函数，那么
〔2〕、假设在上为偶函数，那么
注：此方法只适用于对称区间上的定积分。
广义积分
无穷积分
定积分关于面积计算
面积，记忆：面积等于上函数减去下函数在边界上的定积分。
d
c