文档介绍：第四节无穷小与无穷大
无穷小的定义
无穷小与极限的关系
无穷小的运算
无穷大的定义
无穷小与无穷大的关系
小结、作业
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一、无穷小的定义
极限为零的变量称为无穷小(量).
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例1
注意
(1)无穷小是一种变量,不能与很小的数混淆;
(2)零是可以作为无穷小的唯一的常数.
问:无穷小是否为很小的数?
很小的数是否为无穷小?
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二、无穷小与极限的关系
*证
必要性
充分性
定理1
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三、无穷小的运算
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
证
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定理3 (同一过程中的)有界量与无穷小的乘积是无穷小,即 O(1)·o(1)=o(1)
证
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推论1 (在同一过程中)有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积是无穷小.
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注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小;
无穷多个无穷小的乘积未必是无穷小.
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四、无穷大的定义
绝对值无限增大的变量称为无穷大(量)。
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几何解释:
{xn}为无穷大任给定有限区间 I (不论它有多么大),I之内都只能有{xn}中有限个项。
f()= (+ ,- ) 任给定以 y=M 为边界的带形域(不论它有多么宽),当|x|充分大时有 y=f(x)的图形完全落于此带形域之外。
x  x0( x0+0, x0 -0 ) 时 f(x) (+ , - ) 曲线 y=f(x) 有垂直渐进线 x= x0。
y

O x0 x
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