文档介绍：2013届本科毕业论文
导数的几何意义的应用
学院:数学科学学院
专业班级:数学与应用数学08-3班
学生姓名:
指导教师:
答辩日期:2013年5月6日
新疆师范大学教务处
目录
1 引言 1
2 导数的概念 1
导数的定义 1
导数的基本性质 2
函数增量与导数的关系: 2
函数增量与导数关系的推广 3
函数可导必然连续 3
增量的价 3
3 二阶导数的概念 3
3
用二阶导数判断极大值或极小值定理 3
二阶导数的几何意义 4
函数在时,(存在)时的几何意义 4
运用时,的几何意义,求时,在处的曲率 5
4 导数的几何意义的应用 6
求曲线的切线方程和法线方程 6
求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题 8
9
9
5 结论 10
参考文献: 11
致谢 12
导数的几何意义的应用
摘要数学分析是大学数学专业的基础,核心学科,而导数在数学分析中又具有举足轻重的地位,其中数学分析里面所有的微积分都是以导数为基础的,而本文主要通过一些典型例题,讲解了导数的几何意义的应用。包括求曲线的切线方程和法线方程,求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题,求解两曲线的交角问题,求解与两曲线相切的有关问题。
关键词导数;导数的性质;二阶导数;导数的几何意义的应用
导数的几何意义的应用
1 引言
导数是微学的基本概念之一。应用导数的知识我们可以进一步研究函数以及曲线的某些性质,比如中值定理,单调性,极值,最值和曲线的凹凸性等,而且它在几何学等其它学科中也有着广泛的应用。体会导数的思想,深刻理解导数的含义,对学生进一步学****教材后面的章节知识有若很重要的意义。在导数的教学中,我们经常会遇到研究某一点的可导性问题,而在教材以及一些参考书中一般采取方法是在这一点处利用左右极限,左右导数的含义进行计算分析。这些含义运算比较繁体,而其中有许多题目是完全不需要进行如此繁体的计算的。本文在对函数曲线上某一点处的可导性讨论中,求曲线的切线方程与法线方程,求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题,求解两曲线的交角问题,求解与两曲线相切的有关问题求解,二阶导数的概念,并举例进了论证。
2 导数的概念
导数的定义
定义1:设函数在点的某领域内有定义,若极限
(1-1)
存在,则称函数在处可导,并称该极限为函数在点处的导数,记作。
令, 则(1-1)式可改写为
(1-2)
所以,导数是函数增量与自变量之比的极限。这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(又称差商),而导数则为在点处关于的变化率。
若(1-1)或(1-2)式极限不存在,则称在点处不可导。
定义2:设函数在点的某右领域上有定义,若右极限(0<<)
存在,则称该极限值为在的右导数,记作。
类似地,我们可定义左导数,记作。
存在的充要条件是与都存在,且
.
例1:设,是确定,的值,使在处可导。
考察分段函数在分段点的可导性一般会涉及函数在该点的左,右导数,存在的充要条件是和都存在且相等,据此可确定出,。
解: 6
=
要使存在,须,此时=0 。由,得,从而。
解答本题的基本思路是将在处可导的要求进行转化或寻找它所隐含的便于运用的条件,据此,再确定由于函数可导必连续,所以有,由此可得的方程。利用,可望确定。
导数的基本性质
函数增量与导数的关系:
若的导数存在,则有
其中
故有(1-3)
这说明,当时,是的主部,因此,在导数的研究和应用中,都会经常用到这一关系。
函数增量与导数关系的推广
在导数的定义中,强调过:,这是因为它处于分母的地位。如今,在增量与导数的关系式(1-3)中,却是乘积的因子,即使为零的无妨。事实上,,相应的有。显然,,它们也适合关系式(1-3)。
增量与导数的关系式(1-3)适用于的情形,在推证复合函数求导法则时,将被用到。
函数可导必然连续
设在处可微,则有(1-3)知
所以
即
这就说明在处连续。
增量的价
存在且不为零是同价无穷小。
3 二阶导数的概念
定义若函数的导函数在点可导,则称在点的导数为在点的二阶导数,记作,即
同时称在点为二阶导数。
用二阶导数判断极大值或极小值定理
定义若函数在点的某领域内对一切有
则称函数在点取得极大(小)值,称点为极大(小)值点。极大值