文档介绍：海南省2008年中考数学科第24题质量分析报告

A
B
C
O
D
E
x
y
x=2
图13
【题目】24. (本题满分14分)如图13,已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C,直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m),且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.
(1)求m的值及该抛物线对应的函数关系式;
(2)求证:① CB=CE ;② D是BE的中点;
(3)若P(x,y)是该抛物线上的一个动点,是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在,试求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
一、试题分析
2008年数学科中考第24题是一道代数几何综合探究题,它以平面直角坐标系作为主要载体,考查函数、三角形全等和相似、勾股定理、等腰三角形等知识点,考查数形结合、待定系数法等重要数学思想方法,综合考查学生的数学探究能力。
这道题给予学生很大的思维空间去做答,解决问题的方法和角度多;其梯度设置得当,从易到难,不断引导,逐层渗透,为学生灵活、综合地运用基础知识、基本技能,创造性地解决问题提供了空间。
二、学生答题过程分析
(一)学生在做答过程中好的方面:
1、解题思路广,方法多样。例如:
(1)第1小题用待定系数法求二次函数的关系式。学生在设关系式时采用了不同的方法,有一般式(或)、两根式、顶点式三种形式,这涵盖了二次函数最常用的三种关系式表达形式。这三种做法的同学都相当多,没有特别偏向哪种做法。另外,将点的坐标代入关系式时,学生选择的点也是多种情况,有点A,点B,点B关于直线的对称点、点O可以选择。说明学生对以上知识点的掌握比较熟练,解题角度多。
(2)第2小题第2问中证明D是BE的中点。学生的方法更显得多样。
思路1:利用三角形全等。方法有:①分别过B、E两点作y轴的垂线,垂足分别为F、G,论证
≌,得到BD=ED,从而得证;②过点B作x轴的垂线BF,过点D做DF⊥BF,过点E做EG⊥y轴于点G,论证≌,得到BD=ED,从而得证。
思路2:利用三角形相似。方法有:①分别过B、D两点作直线x=2的垂线,垂足分别为F、G,论证∽,得到,从而得证;②求出D(0,),直线BC与y轴的交点G(0,),得到,易得∽,故,从而得证。
思路3:利用等腰三角形的三线合一性质。方法有:①连结CD,通过计算BD、CD、BC长度,通过勾股定理逆定理论证CD⊥BE,从而得证;②直线BE与直线CD的斜率的乘积,所以 CD⊥BE,从而得证;③设BE与x轴交于点G,通过论证∽来说明CD⊥BE,从而得证,但这不是一种好的方法。
思路4:直接计算BD、DE、BE的长度。①利用勾股定理计算BD=、DE=、BE=,从而得证;②利用两点距离公式计算BD=、DE=、BE=,从而得证;
思路5:利用三角形中位线。方法有:①设BC与y轴交于点G,则BG是的中位线,从而得证;②分别过B、D两点作直线x=2的垂线,垂足分别为F、G,则DG是是的中位线,从而得证。
思路6:利用平面直角坐标系中线段中点距离公式。方法是:由线段BE两个端点B(,3)、E(2,)代入公式可求得中点坐标为(0,),而直线BE与y轴的交点D(0,),故D是BE的中点。
思路7:利用平行线等分线段定理。方法有:①过B点