导数知识点归纳及其应用.doc

文档介绍：导数知识点归纳及其应用
●知识点归纳
一、相关概念

函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量,那么函数y相应地有增量=f(x+)-f(x),比值叫做函数y=f(x)在x到x+之间的平均变化率,即=。如果当时,有极限,我们就说函数y=f(x)在点x处可导,并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数,记作f’(x)或y’|。
即f(x)==。
说明:
(1)函数f(x)在点x处可导,是指时,有极限。如果不存在极限,就说函数在点x处不可导,或说无导数。
(2)是自变量x在x处的改变量,时,而是函数值的改变量,可以是零。
由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x处的导数的步骤:
①求函数的增量=f(x+)-f(x);
②求平均变化率=;
③取极限,得导数f’(x)=。
例:设f(x)= x|x|, 则f′( 0)= .
[解析]:∵∴f′( 0)=0

函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f(x)在点p(x
,f(x))处的切线的斜率是f’(x)。
相应地,切线方程为y-y=f/(x)(x-x)。
例:在函数的图象上,其切线的倾斜角小于的点中,坐标为整数的点的个数是( )

[解析]:切线的斜率为
又切线的倾斜角小于,即
故
解得:
故没有坐标为整数的点

如果物体运动的规律是s=s(t),那么该物体在时刻t的瞬间速度v=(t)。
如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v(t),则该物体在时刻t的加速度a=v′(t)。
例。汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数,其图像可能是( )
s
t
O
A.
s
t
O
s
t
O
s
t
O
B.
C.
D.
答:A。
练习:已知质点M按规律做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s)。
当t=2,时,求;
当t=2,时,求;
求质点M在t=2时的瞬时速度。
答案:(1)(2);(3)8
二、导数的运算
:
①(C为常数)
②
③;
④;
⑤
⑥;
⑦;
⑧.
例1:下列求导运算正确的是( )
A.(x+ B.(log2x)′=
C.(3x)′=3xlog3e D. (x2cosx)′=-2xsinx
[解析]:A错,∵(x+
B正确,∵(log2x)′=
C错,∵(3x)′=3xln3
D错,∵(x2cosx)′=2xcosx+ x2(-sinx)
例2:设f0(x) = sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x) = fn′(x),n∈N,则f2005(x)= ( )
B.-sinx D.-cosx
[解析]:f0(x) = sinx,f1(x)=f0′(x)=cosx,f2(x)=f1′(x)= -sinx,
f3(x)=f2′(x)= -cosx, f4(x) = f3′(x)=sinx,循环了
则f2005(x)=f1(x