文档介绍：第一课时根式及分数指数幂
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①可看作∴==
②可看作∴==
二、讲解新课:
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⑴计算(可用计算器)
①= 9 ,则3是9的平方根;
②=-125 ,则-5是-125的立方根;
③若=1296 ,则6是1296 的 4次方根;
④= ,.
⑵定义:
一般地,若则x叫做a的n次方根
叫做根式,n叫做根指数,a叫做被开方数
例如,27的3次方根表示为,-32的5次方根表示为,的3次方根表示为;16的4次方根表示为!,即16的4次方根有两个,一个是
,另一个是-,它们绝对值相等而符号相反.
⑶性质:
①当n为奇数时:正数的n次方根为正数,负数的n次方根为负数
记作:
②当n为偶数时,正数的n次方根有两个(互为相反数)
记作:
③负数没有偶次方根,
④ 0的任何次方根为0
注:当a0时,0,表示算术根,所以类似=2的写法是错误的.
⑷常用公式
根据n次方根的定义,易得到以下三组常用公式:
①当n为任意正整数时,()=,()=27,()=-32.
②当n为奇数时,=a;当n为偶数时,=|a|=.
例如,=-2,=2;=3,=|-3|=3.
⑶根式的基本性质:,(a0).
注意,⑶中的a0十分重要,无此条件则公式不成立. 例如.
用语言叙述上面三个公式:
⑴非负实数a的n次方根的n次幂是它本身.
⑵n为奇数时,实数a的n次幂的n次方根是a本身;n为偶数时,实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值.
⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂,那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数,根式的值不变.
三、讲解例题:
例1求值
①= -8 ;
②= |-10| = 10 ;
③= || = ;
④= |a- b| = a- b .
去掉‘a>b’结果如何?
练习求值:
分析:(1)题需把各项被开方数变为完全平方形式,然后再利用根式运算性质;
解:
引例:当a>0时
①
②
③
④
上述推导过程主要利用了根式的运算性质,例子③、④、⑤用到了推广的整数指数幂运算性质(2).因此,我们可以得出正分数指数幂的意义.
.正数的正分数指数幂的意义
(a>0,m,n∈N*,且n>1)
要注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式;二是根式与分数指数幂可以进行互化.
另外,我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.
:
(1) (a>0,m,n∈N*,且n>1)
(2)0的正分数指数幂等于0.
(3)0的负分数指数幂无意义.
规定了分数指数幂的意义以后,>0时,整数指数幂的运算性质,,s,均有下面的运算性质.
:
说明:若a>0,P是一个无理数,则表示一个确定的实数,上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用,有关概念和证明在本书从略.
三、讲解例题:
例2求值:.
解:
练习用分数指数幂的形式表示下列各式:
(式中a>0)
解:
例3计算下列各式(式中字母都是正数)
分析:(1)题可以仿照单项式乘除法进行,首先是系数相乘除,然后是同底数幂相乘除,并且要注意符号
(2)题按积的乘方计算,而按幂的乘方计算,等熟练后可简化计算步骤
解
练习:计算下列各式:
分析:(1)题把根式化成分数指数幂的形式,再计算
(2)题先把根式化成分数指数幂的最简形式,然后计算
解:
第二课时分数指数幂的应用
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①当n为任意正整数时,()=a.
②当n为奇数时,=a;当n为偶数时,=|a|=.
⑶根式的基本性质:,(a0).
:
二、讲解范例:
(其中各式字母均为正数)
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
解:(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
例3 计算下列各式:
⑴;⑵(a>0).
解:⑴原式=
=;
⑵原式=.
例4化简:
例5 已知x+x-1=3,求下列各式的值:
第三课时指数函数
引例1(P57):某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……. 1个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么?
分裂次数:1,2,3,4,…,x
细胞个数:2,4,8,16,…,y
由上面的对应关系可知,函