文档介绍：专题1¾波函数的统计诠释
在量子力学中,我们用波函数来描述一个微观粒子的状态,从这个波函数我们可以得到微观粒子的所用信息。如何从波函数得到微观粒子的信息是量子力学的一个主要内容。
波恩的统计诠释:

也就是说,是几率密度,它给出在t时刻粒子处于x处单位体积内的几率。由于波函数的诠释,物理上的波函数必须是归一化
(或者说是可归一化的, 积分为有限值)
由波函数的统计诠释,波函需要满足标准条件:有限性(不排除在个别点上,和它的微商在保持平方模可积条件下可以趋于无限大。);单值性(应该是坐标和时间的单值函数,这样才能使粒子的几率密度在时刻t,坐标x有唯一确定值);连续性(由于几率密度应当连续,波函数和它的微商也必须连续,不排除微商在势能为无限大处不连续)。
由波函数的统计解释,对处于态的一个粒子,对其坐标多次测量的平均值(期待值)是
期待值是对含有相同体系的一个系综中不同体系的重复测量的平均值,而不是对同一个体系的重复测量的平均值。
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测量引起波函数的坍塌

存在两类完全不同的物理过程:“正常”类,波函数按薛定鄂方程“从容不迫”的演化,“测量”类,由于测量,波函数突然和不连续的坍塌。
对于坐标这个力学量,由波函数我们可以得出它的信息(几率密度、期待值),那么其他力学量呢?
力学量的期待值

当粒子处于态时,对于一个力学量,如果我们还想知道测量这个力学量可以得到那些特定值,得到某个特定值的几率是多少,那么该如何做?波函数的统计解释(广义统计解释)给出。
首先,我们需要知道这个力学量的本征函数。
分立谱
本征函数满足正交归一条件(分立谱)

将体系的状态波函数Y用算苻的本征函数展开

则在态中测量力学量得到结果为的几率是,在测量后波函数坍塌为。对一个系综(含有大量相同体系)每一个体系进行测量的平均值为

如果力学量的本征谱为连续谱

本征函数满足函数归一化

同样将体系的状态波函数用算苻的本征函数展开

如果对体系测量,得到结果在范围内的几率是,是几率密度。测量同样导致波函数的坍塌,坍塌为处的一个尖锐波峰。对一个系综(含有大量相同体系)每一个体系进行测量力学量的平均值为

这样由体系的状态波函数,我们就可以得到粒子的全部信息。
标准差
一个算符的标准差定义为
它是F的测量值对平均值“弥散”的量度。只有处在F的本征态时才有s=0。
如果两个力学量A,B不对易,则有(不确定原理)

它意味着如果力学量A的测量值是确定的,没有弥散(当然此时体系是处于A的本征态),则,非常弥散。
为什么两个不对易的力学量不能同时有确定值?这是因为它们没有共同的本征态。
计算技巧
利用被积函数的奇偶性
利用本征函数的正交性
利用本征函数之间的递推关系
利用力学量算符的厄米性
利用力学量期待值之间满足经典关系
利用升降阶算符(谐振子与角动量)
利用维里(Virial)定理
8. 利用Hellmann - Feynman 定理
一些常用的公式
(n为正数,)
()
例题1-,其初始波函数是
求能量的期望值。
解:的图形为
归一化波函数