2011山东烟台数学小组题.doc

文档介绍：(2011山东烟台,26,14分)
如图,在直角坐标系中,梯形ABCD的底边AB在x轴上,=-x+,点A、D的坐标分别为(-4,0),(0,4).动点P自A点出发,,在折线BCD上匀速运行,,(秒)时,△OPQ的面积为s(不能构成△OPQ的动点除外).
(1)求出点B、C的坐标;
(2)求s随t变化的函数关系式;
(3)当t为何值时s有最大值?并求出最大值.
O
x
y
A
B
C
D
P
Q
O
x
y
A
B
C
D
(备用图1)
90
(备用图2)
90
O
x
y
A
B
C
D
(1)把y=4代入y=-x+,得x=1.
∴C点的坐标为(1,4).
当y=0时,-x+=0,
∴x=4.∴点B坐标为(4,0).
(2)作CM⊥AB于M,则CM=4,BM=3.
∴BC===5.
∴sin∠ABC==.
①当0<t<4时,作QN⊥OB于N,
则QN=BQ·sin∠ABC=t.
∴S=OP·QN=(4-t)×t =-t2+t(0<t<4).
②当4<t≤5时,(如备用图1),
连接QO,QP,作QN⊥OB于N.
同理可得QN=t.
∴S=OP·QN=×(t-4)×t.
=t2-t(4<t≤5).
③当5<t≤6时,(如备用图2),
连接QO,QP.
S=×OP×OD=(t-4)×4.
=2t-8(5<t≤6).
(3)①在0<t<4时,
当t==2时,
S最大==.
②在4<t≤5时,对于抛物线S=t2-t,当t=-=2时,
S最小=×22-×2=-.
∴抛物线S=t2-t的顶点为(2,-).
∴在4<t≤5时,S随t的增大而增大.
∴当t=5时,S最大=×52-×5=2.
③在5<t≤6时,
在S=2t-8中,∵2>0,∴S随t的增大而增大.
∴当t=6时,S最大=2×6-8=4.
∴综合三种情况,当t=6时,S取得最大值,最大值是4.