文档介绍：一、计算行列式
利用行列式展开法则,结合行列式性质,可将行列式逐次降低阶数,达到简化计算的目的.
二、解矩阵方程
三、判别向量组的线性相关性,求极大无关组
并将其余向量用此极大无关组表示
将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵,
然后进行初等行变换,化为行阶梯形. 可求出矩阵的秩(即向量组的秩).
向量组线性相关
向量组的秩 r < 向量的个数 n
(线性无关)
(r = n)
矩阵A的某个r阶子式D是A的最高阶非零子式
D所在的r个行(列)向量是A的行(列)向量组的一个极大无关组
2)求其导出组的通解
四、讨论非齐次线性方程组的解的情况
2、若,方程组无解
若,方程组有唯一解
若,方程组有无穷多解
1)求的一个特解
3)写出的通解
1、对增广矩阵进行初等行变换,将化为
阶梯形矩阵,求出和
求齐次线性方程组的基础解系和通解的步骤:
4)通解
1)对系数矩阵初等行变换,将化简为矩
阵(一般为阶梯形矩阵),求出矩阵的秩
(若仅有零解)及同解方程组
2)求出的一个非零阶子式,取下标
异于所处列号的未知量为自由未知量
3)将个自由未知量按单位坐标向量取值
并由方程组确定其它未知量的值,
从而得到一个基础解系
五、求矩阵的特征值与特征向量
1)计算特征多项式;
2)求特征方程的全部根,
即全部特征值;
3)对每个,求方程组
的非零解,即对应于的特征向量
六、利用正交矩阵可将对称矩阵 A 化为对角
矩阵
1)求 A 的特征值;
2)由,求 A 的特征向量;
3)将特征向量正交化;
4)将正交化后的向量单位化;
5)将正交化单位化后的向量作为矩阵的列.
定理行列式等于它的任一行(列)的各元素
与其对应的代数余子式乘积之和,即
或
按行展开
按列展开
代数余子式
若,称方阵 A 是奇异的(或退化的)
若,称方阵 A 是非奇异的(或非退化的)
性质
定义对于n 阶方阵 A,若存在 n 阶方阵 B,
使得,则称方阵 A 是可
逆的,并称 B 是 A 的逆矩阵,记为.
显然有